$\cos^2(\frac{\pi}{101})+\cos^2(\frac{2\pi}{101})+\cos^2(\frac{3\pi}{101})+...+\cos^2(\frac{100\pi}{101})=?$

Question

Encuentra el valor: $$\cos^2\left(\frac{\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{3\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{4\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{5\pi}{101}\right)+\cdots \\ \cdots+\cos^2\left(\frac{99\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{100\pi}{101}\right)$$

Mi intento:Lo he intentado considerando la suma $$\sin^2\left(\frac{\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{2\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{3\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{5\pi}{101}\right)+\cdots \\ \cdots+\sin^2\left(\frac{99\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{100\pi}{101}\right)$$

junto con

$$\cos^2\left(\frac{\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{3\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{4\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{5\pi}{101}\right)+\cdots \\ \cdots +\cos^2\left(\frac{99\pi}{101}\right)+\cos^2\left(\frac{100\pi}{101}\right)$$ que da $ 100$ como resultante, pero no separó la suma de $$\sin^2\left(\frac{\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{2\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{3\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{5\pi}{101}\right)+\cdots\\ \dots+\sin^2\left(\frac{99\pi}{101}\right)+\sin^2\left(\frac{100\pi}{101}\right)$$ por fin.

Intenté el siguiente enfoque utilizando el teorema de Movire, pero no conseguí separar la parte real de la imaginaria.

He invertido una gran cantidad de tiempo en el por lo que sería mejor si alguien por favor llegar a una respuesta.

Answer 1

$$\cos\left(\frac{k\pi}{101}\right)= \frac{1}{2} \left(e^{i\frac{k\pi}{101}}+e^{-i\frac{k\pi}{101}} \right) \\ \cos^2\left(\frac{k\pi}{101}\right)= \frac{1}{4} \left(e^{2i\frac{k\pi}{101}}+e^{-2i\frac{k\pi}{101}} +2\right) \\ \sum_{k=1}^{100}\cos^2\left(\frac{k\pi}{101}\right)= \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{100}\left(e^{2i\frac{k\pi}{101}}+e^{-2i\frac{k\pi}{101}} +2\right) $$

Ahora, $$1+\sum_{k=1}^{100}e^{2i\frac{k\pi}{101}}=\sum_{k=0}^{100}\left(e^{2i\frac{\pi}{101}}\right)^k=\frac{1-(e^{2i\frac{\pi}{101}})^{101}}{1-e^{2i\frac{\pi}{101}}}=0 \\ 1+\sum_{k=1}^{100}e^{-2i\frac{k\pi}{101}}=\sum_{k=0}^{100}\left(e^{-2i\frac{\pi}{101}}\right)^k=\frac{1-(e^{-2i\frac{\pi}{101}})^{101}}{1-e^{-2i\frac{\pi}{101}}}=0 $$

Por lo tanto, $$\sum_{k=1}^{100}\cos^2\left(\frac{k\pi}{101}\right)= \frac{1}{4} \left(-1-1+200\right) $$

Answer 2

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que

$$\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$$

Entonces, el problema se reduce a evaluar ( Ver esta respuesta )

$$\sum_{k=1}^{100}\cos(2k\pi/101)=\text{Re}\left(\sum_{k=1}^{100}\left(e^{i2\pi/101}\right)^k\right)$$

La suma $\sum_{k=1}^{100}\cos(2k\pi/101)$ también se puede evaluar fácilmente multiplicando por $\frac{\sin(2\pi/101)}{\sin(2\pi/101)}$ y la telescópica creativa.

La respuesta final es $\frac12 (100-1)=\frac{99}{2}$ .

Answer 3

HINT

Utilice el hecho de que $$\cos^2(x) = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{2}$$

Así, el resultado es igual a

$$50 + \dfrac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{100} \cos\left(\dfrac{2\pi k}{101}\right)$$

Y la última suma se puede demostrar que es $-1$ utilizando este resultado: Cómo probar $\sum_{k=1}^n \cos(\frac{2 \pi k}{n}) = 0$ para cualquier n>1? .

Así que la respuesta es $49.5$ .

Answer 4

Dejemos que $x_{k} = \cos^{2}(k\pi/n)$ donde $k = 1, 2, \dots, n$ . Entonces podemos ver que $z_{k} = 2x_{k} - 1 = \cos(2k\pi/n)$ y por lo tanto estas son las raíces de la ecuación $P_{n}(z) = 1$ donde $P_{n}(z)$ es un polinomio tal que $P_{n}(\cos x) = \cos nx$ . Estos polinomios son famosos por el nombre de polinomios de Chebyshev y satisfacen la recurrencia $$P_{n + 1}(z) = 2zP_{n}(z) - P_{n - 1}(z)$$ y utilizando la recurrencia anterior podemos demostrar fácilmente (por inducción) que si $n\geq 2$ entonces el coeficiente de $z^{n - 1}$ en $P_{n}(z)$ es $0$ y, por tanto, la suma de las raíces $z_{k} = \cos(2k\pi/n)$ es $0$ . También hay que tener en cuenta que $z_{n} = 1$ para que $\sum_{k = 1}^{n - 1} z_{k} = -1$ y por lo tanto $$\sum_{k = 1}^{n - 1}x_{k} = \frac{n - 2}{2}$$ Poniendo $n = 101$ obtenemos la suma deseada como $99/2$ .

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En caso de que la recurrencia satisfaga $P_{n} (z) $ parece misterioso uno tiene que notar que $$\cos(n+1)x+\cos(n-1)x=2\cos x\cos nx$$ lo que significa que $$P_{n+1}(\cos x) +P_{n-1}(\cos x)=2\cos x P_{n} (\cos x) $$ y sustituyendo $\cos x$ por $z$ obtenemos la recurrencia deseada.