Expresión asintótica de $\int_{- D}^{D} \frac{\text{tanh}(\xi)}{\xi -\omega}\mathrm{d}\xi$

Question

Cómo deducir la siguiente expresión asintótica ($|\omega| \ll D $)?

$$P.V.\int_{- D}^{D} d\xi \frac{\tanh(\beta \xi)}{\xi -\omega} \approx 2 \ln\left(\frac{D}{\sqrt{\omega^2+T^2}}\right),\ \ \ \beta =1/T,\ \ \omega, T \rightarrow 0.$$

Dos casos límite:

1) $\omega=0, \lim_{T\rightarrow 0}\int_{- D}^{D} d\xi \frac{\text{tanh}(\beta \xi)}{\xi} \approx 2 \ln\left(\frac{D}{T}\right) + C \approx 2 \ln\left(\frac{D}{T}\right)$;

2) $T=0, \lim_{\omega \rightarrow 0} \int_{- D}^{D} d\xi \frac{\theta(\xi)-\theta( -\xi)}{\xi -\omega} \approx 2 \ln\left(\frac{D}{\omega}\right).$

Algunas escriben $2 \ln\left(\frac{D}{\text{max}(\omega, T)}\right)$ en lugar de $ 2 \ln\left(\frac{D}{\sqrt{\omega^2+T^2}}\right).$

Cualquiera puede elaborar de Jack respuesta? Gracias.

De referencia.

En realidad, esta es una importante expresión de la física, la que está directamente relacionada con la Kondo problema, la divergencia en la tercera orden de teoría de perturbaciones.

Answer 1

Podemos acaba de explotar la identidad: $$\tanh x = \sum_{n\geq 0}\frac{8x}{(2n+1)^2\pi^2+4x^2}\tag{1}$$ que viene de la derivada logarítmica de la Weierstrass producto para el (hiperbólica) función coseno: $$\cosh x = \prod_{n\geq 0}\left(1+\frac{4x^2}{(2n+1)^2\pi^2}\right).\tag{2}$$ Después de que, a través de: $$ \int_{A}^{B}\frac{8\,dx}{(2n+1)^2\pi^2+4x^2}=\left.\frac{4}{(2n+1)\pi}\,\arctan\left(\frac{2x}{(2n+1)\pi}\right)\right|_{A}^{B} \tag{3}$$ tenemos todo lo que necesitamos para calcular nuestro integrales, a través de: $$\forall x\geq 0,\qquad \arctan(x)<\frac{\pi x}{1+2\sqrt{1+x^2}}<\min\left(x,\frac{\pi}{2}\right).\tag{4}$$ La nitidez de la desigualdad es la Shafer-Fink desigualdad (ver mi nota, por ejemplo).

En otros términos, $(1)$ da $\frac{\tanh z}{z}$ es una serie de funciones de Lorenz, muy fáciles de estimar.