Ley de Stokes en 2 dimensiones

Question

La ley de Stokes establece que la fuerza sobre una esfera en movimiento lento (es decir $Re\ll1$ ) en líquido es $$ F_d = 6 \pi \mu R V $$

En dos dimensiones estamos en problemas (flujo alrededor de un disco en 2d o alrededor de un cilindro en 3d), porque no hay solución al problema de Stokes (conocido como la paradoja de Stokes), pero del análisis dimensional aún podemos concluir que

$$ F_d = C \mu V $$

Hice algunas pruebas numéricas de las ecuaciones de Navier-Stokes para números de Reynolds pequeños y descubrí que $F_d$ realmente no depende de $R$ y $C\approx 4\pi$ .

Me parece bastante contraintuitivo que la fuerza en 2D no dependa del radio del disco. ¿He hecho algo mal? ¿O realmente no depende del radio del disco?

Lo único que depende del radio del disco es el rango admisible de velocidades de entrada. Si se aumenta $R$ entonces hay que bajar el máximo $V$ para asegurar la condición $Re \ll 1$ .

Answer 1

Sacar conclusiones basadas en el análisis dimensional sin comprobar los supuestos subyacentes es peligroso.

La paradoja se produce porque la validez de las ecuaciones de Stokes depende de que el número de Reynolds sea pequeño. Este no es el caso en 2D ya que la inercia no puede en el campo lejano y, por tanto, no es posible una fuerza dependiente únicamente de la viscosidad. En su lugar, se realiza un análisis de pertubación utilizando el Ecuaciones de Oseen (conocido como La aproximación de Oseen ) se requiere una forma de la resistencia de Stokes multiplicada por algún factor corrector que depende del número de Reynolds.