En$\mathbb R^4$ tengo:$$\pi: \begin{cases} x+y-z+q+1=0 \\ 2x+3y+z-3q=0\end{cases}$ $
Tengo que encontrar$\pi' \bot$$ \pi $ y pasar por$P=(0,1,0,1)$. ¿Cómo puedo hacer eso? ¡Muchas gracias!
Respuestas
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Si esta es la tarea, sería bueno agregar la etiqueta de "deberes". :-)
Además de eso, usted puede comenzar a escribir su avión $\pi$ en forma
$$ \pi = P + V $$
donde $Q \in \pi$ es cualquier punto en el plano, y $V \subset \mathbb{R}^4$ es el subespacio vectorial, que es la solución del sistema lineal homogéneo de ecuaciones asociado a la de $\pi$; es decir, que acaba de eliminar todas las constantes (es decir, que $1$ en la primera ecuación).
Luego, calcula el $V^\bot$ y el plano perpendicular que usted está buscando puede ser
$$ \pi' = P + V^\bot \ . $$
Mike Cole
Puntos
173
Tenga en cuenta que $\pi$ es dada como: $$ \pi = Q + \{ v \in \mathbb{R}^4 \ : \ v \perp u_1 \text{ and } v \perp u_2 \} $$ donde$u_1 = (+1,+1,-1,1)$$u_2 = (2,3,1,-3)$, e $Q$ es un punto y no es realmente relevante aquí. Así que usted puede dar a $\pi'$ como: $$\pi' = \{ P + t_1 u_1 + t_2 u_2 \ : \ t_1,t_2 \in \mathbb{R} \} $$
Si la descripción es suficiente para usted, usted está hecho. Si no, entonces usted tendrá que calcular (dos, linealmente independiente de vectores que son ortogonales a $\pi'$.
Para encontrar los vectores ortogonales a $\pi'$, por ejemplo, puede comenzar con cualquiera de los dos vectores $w_1, w_2$ tal que $u_1, u_2, w_1, w_2$ span $\mathbb{R}^4$. Ahora, hacer el Grahm-Schmidt orthogonalisation para estos vectores, es decir: $$ u'_1 = u_1 \\ u'_2 = u_2 - \frac{\left< u'_1, u_2\right>}{\lVert u'_1 \rVert^2} u'_1 \\ w'_1 = w_1 - \frac{\left< u'_1, w_1\right>}{\lVert u'_1 \rVert^2} u'_1 - \frac{\left< u'_2, w_1\right>}{\lVert u'_2 \rVert^2} u'_2\\ w'_2 = w_2 - \frac{\left< u'_1, w_2\right>}{\lVert u'_1 \rVert^2} u'_1 - \frac{\left< u'_2, w_2\right>}{\lVert u'_2 \rVert^2} u'_2 \frac{\left< w'_1, w_2\right>}{\lVert w'_1 \rVert^2} w'_1 $$
De esa manera $w'_1,w'_2$ será ortogonal a $\pi'$ (nota bene: que también abarcan la $\pi$, es decir, tendrás $\pi = \{ Q + t_1 w_1 + t_2 w_2 \ : \ t_1,t_2 \in \mathbb{R} \} $). Ahora se puede escribir: $$ \pi' = P + \{ v \in \mathbb{R}^4 \ : \ v \asesino w'_1 \text{ y } v \asesino w'_2 \} $$ o lo que es equivalente: $$ \pi' = \{ v \in \mathbb{R}^4 \ : \ \a la izquierda<v,w_1\right> = \left<P,w_1\right> \text{ y } \left<v,w_2\right> = \left<P,w_2\right>\} $$ La última forma puede ser fácilmente convertido en un conjunto de ecuaciones.
Farkhod Gaziev
Puntos
6
La ecuación de cualquier plano$(\pi_1)$ que pasa por$P(0,1,0,1)$ es$a(x-0)+b(y-1)+c(z-0)+d(q-1)=0$ donde$a,b,c,d$ son constantes indeterminadas,
Si$\pi_1 \bot \pi $, la suma del producto de los cosenos direccionales será$0$.
Asi que, $(1)(a)+(1)(b)+(-1)(c)+(1)(d)=0\implies a+b-c+d=0$
y$(2)(a)+(3)(b)+(1)(c)+(-3)(d)=0\implies 2a+3b+c-3d=0 $
Y entonces $2c=5a+6b$,
Entonces,$2d=3a+4b$ se convierte en$\pi_1$
O bien,$2a(x-0)+2b(y-1)+(5a+6b)(z-0)+(3a+4b)(q-1)=0$
O bien,$a(2x+5z+3q-3)+b(2y+6z-2+4q-4)=0$
Si$a(2x+5z+3q-3)+b(2y+6z+4q-6)=0$, la ecuación del plano$ab≠0$ será$\pi_1$ y$2x+5z+3q-3=0$
