Si $u \in C^1(\mathbb{R}^2)$ y $yu_x + (-3y-2x)u_y = 0$, entonces el $u$ son constante.

Question

<blockquote> <p>Demostrar eso si $u \in C^1(\mathbb{R}^2)$ y $yu_x + (-3y-2x)u_y = 0$, entonces el $u$ son constante.</p> <p>Encontrar una solución no constante definida en un conjunto abierto $U \subset \mathbb{R^2}. $</p> </blockquote> <p>Estoy un poco atascado, he intentado mirar las ecuaciones características, pero no podía ver cómo ayuda a demostrar que la solución es constante.</p> <p>Y no sé cómo demostrar que existe una solución no constante</p> <p>¿Alguien por favor sugerir cómo debe proceder para resolver esta cuestión?</p> <p>Gracias</p>

Answer 1

$$yu_x-(3y+2x)u_y=0$$ SUGERENCIA : Resolviendo gracias al método de las características.

El sistema de la característica de Odas : $\quad \frac{dx}{y}=\frac{dy}{-(3y+2x)}=\frac{du}{0}$

La primera de las características de la familia de cuves de $\quad \frac{dx}{y}=\frac{dy}{-(3y+2x)} \quad\to\quad \frac{dy}{dx}=-3-2\frac{x}{y}$

La educación a distancia de tipo homogéneo $\to$ cambio de función $t(x)=\frac{y}{x}$ que se reduce a un separables educación a distancia. La solución conduce a: $$\frac{(y+2x)^2}{y+x}=c_1$$ La segunda familia de curvas características viene de $\frac{du}{0}$ lo que implica $u=c_2$

La forma implícita de la PDE solución general es $\Phi\left(\frac{(y+2x)^2}{y+x}\:,\: u\right)=0$ donde $\Phi$ es cualquier función diferenciable de dos variables. O, en forma explícita : $$u(x,y)=F\left(\frac{(y+2x)^2}{y+x}\right)$$ donde $F$ es cualquier función derivable.

Por supuesto, la anterior solución general incluye el caso particular de las $F=$función constante.