Encontrar un inverso en un cociente de un anillo polinómico

Question

Sé que esta pregunta es tan fácil que debería ser un álgebra de primer año, pero ha pasado mucho tiempo desde la última vez que estudié este argumento.

Tengo que encontrar la inversa de $x+2$ en el ring $\mathbb{Q}[x]/\left<x^6 + x^4 + x^2 + 1\right>$ .

Traté de dividir $(x^6 + x^4 + x^2 + 1)+1$ para $x + 2$ pero obtuve un recordatorio de $86$ . Entonces traté de resolver $$(x + 2)(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f)=q(x^6 + x^4 + x^2 + 1)+1$$ y obtuvo que q debe ser un número complejo. Así que ahora me pregunto si hay una forma mejor de proceder. ¿Puede alguien darme una pista? Gracias

Answer 1

Iguala los coeficientes de cada potencia de x y obtendrás las siguientes ecuaciones:

$a=q$

$2a+b=0$

$2b+c=q$

$2c+d=0$

$2d+e=q$

$2e+f=0$

$2f=q+1$

Luego resuelve las ecuaciones para encontrar a,b,c,d,e,f y q.

Answer 2

Utilice El esquema de Horner para dividir por $x+2$ : $$\begin{matrix}\\\\\times -2\end{matrix}\quad\begin{matrix} 1&0&1&0&1&0&1\\ &-2&4&-10&20&-42&84 \\ \hline 1&-2&5&-10&21&-42&\!\!\vert\; 85 \end{matrix}$$ Así, $\;x^6+x^4+x^2+1=(x^5-2x^4+5x^3-10x^2+21x-42)(x+2)+85$ para que \begin{align}-\frac1{85}(x^5-2x^4+5x^3-10x^2+21x-42)(x+2)&=1-(x^6+x^4+x^2+1)\\&\equiv 1\mod (x^6+x^4+x^2+1). \end{align}

Answer 3

Puedes escribir $x^6+x^4+x^2+1=(x^5-2x^4+5x^3-10x^2+21x-42)(x+2)+85$

Así que, desde aquí, $85=(x^6+x^4+x^2+1)-(x^5-2x^4+5x^3-10x^2+21x-42)(x+2)$ es decir,

$85\equiv -(x^5-2x^4+5x^3-10x^2+21x-42)(x+2) \pmod{x^6+x^4+x^2+1}$

Así que, $(x+2)^{-1}=-\frac1{85}(x^5-2x^4+5x^3-10x^2+21x-42)$ en el anillo del cociente.