Informática una cierta probabilidad.

Question

Imagina un arma de fuego que es el disparo de una pelota en un cuadrado de $(0,1) \times (0,1)$ como la figura de abajo,

Así, podemos asumir que las coordenadas $(X,Y)$ son variables aleatorias con una distribución uniforme en $(0,1)$ así que si dejamos $W$ a ser la variable aleatoria "distancia al origen" quiero calcular $P(W<d)$, entonces quiero saber

$$P(W<d)=P(\sqrt{X^2+Y^2}<d)=P(X^2+Y^2<d^2)$$

Estoy en lo cierto?, y en caso, de que soy, ¿Cómo puedo calcular esta probabilidad?.

Gracias de antemano.

Answer 1

Comentario: Vamos a probar una simulación de un millón de tiros y ver si está de acuerdo con el analítico de las respuestas para $d =$ .25, .5, .75, 1.2, y el 1,25 (2 lugares):

m = 10^6;  x = runif(m);  y = runif(m)
mean(x^2 + y^2 < .25^2)
## 0.049144
mean(x^2 + y^2 < .5^2)
## 0.196488
mean(x^2 + y^2 < .75^2)
## 0.442155
mean(x^2 + y^2 < 1^2)
## 0.785169
mean(x^2 + y^2 < 1.25^2)
## 0.971806

Aquí es un complot de los lotes de los valores de $d$:

Nota: Si tu objetivo es circular y su distribución de vacunas es estándar de correlación bivariante normal, entonces la distancia desde el ojo de buey (origen) tiene una distribución de Rayleigh; véase Wikipedia.

Addendum: El gráfico siguiente muestra de 50.000 de sus puntos al azar. La región roja para $d = .75$ (resultado trivial de la geometría $\pi(.75)^2/4=0.4417865$); el rojo y el azul regiones juntos para $d = 1.2$ (resultado analítico no es trivial, ver @lulu Comentario). La línea vertical de color rojo en la parte superior la parcela está el límite entre triviales y no triviales.