El teorema de Denjoy

Question

Actualmente, estoy estudiando el teorema de Denjoy, que dice lo siguiente:

Teorema Si $f$ es un diffeomorphism de $S^1$ con un número irracional de la rotación $ \rho$, y la variación de $f^{'}$ (denotado por $Var(f))$es limitada, a continuación, $f$ se conjuga con lo irracional de la rotación $R_{\rho}$.

El corazón de la prueba de este teorema es un argumento de lo limitado de la distorsión.

Croquis de la prueba: Por la clasificación teorema de Poincaré, tenemos la siguiente dicotomía para $ S^1 $ homeomorphisms con irracional de rotación número de $\rho$ o $f$ es semi-conjugado con lo irracional de la rotación $R_{\rho}$ o $f$ se conjuga con lo irracional de la rotación $R_{\rho}$. Más precisamente, para que todos los $x,y\in S^1$ tenemos $\omega(x)=\omega(y),$ y sólo tenemos dos opciones:

1. O $\omega(x)=S^1$ $f$ se conjuga con lo irracional de la rotación $R_{\rho}$
2. O $\omega(x)=S^1$ es un conjunto de cantor y $f$ es semi-conjugado con lo irracional de la rotación $R_{\rho}$

Nuestro objetivo es mostrar que la (2.) no puede ocurrir. Suponemos que por la contradicción que $\omega(x)\neq S ¹$ , $S^1\setminus \omega(x)$ es una contables de la unión de intervalos. Vamos a ser $I$ uno de estos intervalos, a continuación, $I, f(I), \ldots, f^n(I)$ son todos distintos intervalos. Poner $I_n=f^n(I)$, entonces tenemos

\begin{eqnarray} l(I_n)+l(I_{-n})&=&\int (f^n(t))^{'}dt+ \int (f^{-n}(t))^{'}dt \\ &=& \int [ (f^n(t))^{'}+(f^{-n}(t))^{'}]dt \\ &\geq& \int \sqrt{ (f^n(t))^{'}\cdot(f^{-n}(t))^{'} }dt \end{eqnarray}

El corazón de la prueba de este teorema es un argumento de lo limitado de la distorsión:

Lema: Poner $g=\log |f^{'}|$. Deje $J$ ser un intervalo en $S^1$ , y supongamos que los interiores de los intervalos de $J, f (J ), . . . , f^{n−1}(J )$ son pares distintos. Entonces para cualquier $n ∈ Z$, $$ Var(g) ≥ | \log(f^n)^{'}(x) − \log(f^n)^{'}(y)|=| \log(f^n)^{'}(x)\cdot\log(f^{-n})^{'}(y)| $$ El uso de este lema y algunos tecnicismos obtenemos: $$ l(I_n)+l(I_{-n})\geq \exp(-{\frac{1}{2}Var(g)})l(I) $$ esto es absurdo, porque implica que $\sum_{n\in \mathbb{Z}}l(I_n)=\infty$ contradiciendo el hecho de que los intervalos de $I_n$ son disjuntas.

MI PREGUNTA: En medio de esta demostración técnica lema, que nos permite trabajar la idea de la limitada distorsión en esta prueba:

Vamos a ser $R_{\alpha}$ un irracional rotación, si $x\in S^1$ hay infinitamente muchos índices $n\in \mathbb{N}$ de manera tal que los intervalos $$ I_{k}=R_{\alpha}^{k}(x,R_{\alpha}^{-n}x);~~0\leq |k|<n $$ son disjuntas.

No puedo probarlo

Answer 1

Escribir $x_k=R_{\alpha}^k(x_0)$$I=(x_0,x_{-n})$,$I_k=(x_k,x_{k-n})$. Si por alguna $n$ que tienen la propiedad de que para $0<|k|<n$ $x_k$ se encuentra en I, entonces podemos ver que los intervalos de $I_k$ son disjuntas. Pretendemos que existe una cantidad infinita de tales $n$, o de lo contrario no existe $N\in\mathbb{N}$ de manera tal que la afirmación de falla por $n\geq\mathbb{N}$. Entonces por inducción podemos demostrar que para cualquier $n\geq N$ existe $M$ $0<|m|<N$ tal que $x_m$ es cercana a $x_0$$x_n$. Así que el conjunto $\{x_n: n\in\mathbb{Z},n\neq 0\}$ ha positiva distancia de $x_0$, lo que significa que $x_0$ no puede estar en la órbita de cierre de $x_0$, una contradicción a la propiedad de la irracional rotación en el círculo.