La suma finita de eigenspaces (con valores propios distintos) es una suma directa

Question

Intento demostrar que una suma finita de eigenspaces (con valores propios distintos) es una suma directa.

Tengo $ \alpha : V \to V $ . Los eigenspaces son $ V_{\lambda_i} = \ker(\alpha - \lambda_i id_V )$ para $ 1 \leq i \leq n $ . Mi intento de prueba:

$ A + B $ es una suma directa si $ A \cap B = \{0\} $ . Si $ v \neq 0 \in V_{\lambda_i} \cap V_{\lambda_j} $ para algunos $i,j, i \neq j $ entonces $ \alpha(v) = \lambda_i v $ y $ \alpha(v) = \lambda_j v $ . Así que $(\lambda_i - \lambda_j)v = 0 $ y así $ \lambda_i = \lambda_j $ . Esto es una contradicción, por lo que cualquier par de los eigenspaces tienen intersección trivial. Por tanto, $ \cap_{i=1}^n V_{\lambda_i} = \{0\} $ y así tenemos una suma directa.

¿Está bien?

Gracias

Answer 1

No, esto no es una prueba completa. No es cierto que, si $V = A+B+C$ y $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \{ 0 \}$ entonces $V = A \oplus B \oplus C$ . Por ejemplo, dejemos que $V = \mathbb{C}^2$ y que $A$ , $B$ y $C$ sean los subespacios unidimensionales abarcados por $(1,0)$ , $(1,1)$ y $(0,1)$ .

Esto da una buena intuición de por qué la afirmación es cierta. Si quieres llegar a la prueba completa, puedes probar el caso especial de los tres eigenspaces y ver qué puedes hacer.

Divertidamente, este es actualmente el ejemplo más votado de una falsa creencia común en MO.

Answer 2

Para aclarar algunos conceptos, enumero algunas definiciones relevantes del "Álgebra" de Artin. Supongamos que $\{W_i\}$ $i=1,\ldots,n$ son subespacios vectoriales de $V$ entonces su suma viene dada por $$ W_1 + \cdots + W_n := \{v\in V\ |\ v = w_1 + \cdots + w_n \mbox{ ,with } w_i\in W_i\} $$ Los subespacios $W_1,\ldots,W_n$ son independiente si $$ w_1 + \cdots + w_n = 0 \mbox{ ,with } w_i\in W_i \mbox{ implies } w_i = 0 \mbox{ for all i} $$ Un subespacio $U$ se llama suma directa de $W_1,\ldots,W_n$ si $U = W_1 + \cdots + W_n$ y $W_1,\ldots,W_n$ son independientes.

A partir de las definiciones anteriores, lo que realmente tenemos que demostrar en este problema es que los espacios propios correspondientes a valores propios distintos son independientes.

Dejemos que $v_1,\ldots,v_n$ sean vectores propios con valores propios $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ respectivamente, y $v_1 + \cdots + v_n = 0$ .

Ahora, utilizamos la inducción para demostrar que todos $v_i = 0$ . Si $n = 1$ Es trivial. En caso contrario, tenemos las dos observaciones siguientes. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por $\lambda_1$ obtenemos $$ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_1 v_n = 0 $$ Si aplicamos el mapa lineal $\alpha$ a ambos lados de la ecuación, obtenemos $$ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0 $$ A continuación, restamos la primera ecuación de la segunda $$ (\lambda_2 - \lambda_1) v_2 + \cdots + (\lambda_n - \lambda_1) v_n = 0 $$ Desde $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ son distintos, los coeficientes de la ecuación anterior son distintos de cero.

Por inducción $v_1 = \cdots = v_n = 0$ .

Por lo tanto, los espacios propios correspondientes a valores propios distintos son independientes.

Answer 3

Para que conste, ésta es una forma de demostrar que cualquier suma finita de espacios propios para valores propios distintos es una suma directa. (De hecho, se puede prescindir del "finito", ya que una suma directa infinita de subespacios es directa si y sólo si todas las sumas de un subconjunto finito de esos subespacios son directas).

Utilizando la inducción sobre el número $n$ de valores propios implicados (los casos $n\leq1$ son triviales), se puede suponer que la suma de $V_{\lambda_1},\ldots,V_{\lambda_{n-1}}$ ya se sabe que es directa. Entonces basta con demostrar que la suma de $V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_{n-1}}$ y $V_{\lambda_n}$ es directa (en esta forma uno puede concluir la franqueza de una gran suma de subespacios considerando sólo dos subespacios a la vez). Para ello podemos demostrar que $(V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_{n-1}})\cap V_{\lambda_n} = \{0\}$ . Pero esto equivale a demostrar que $\lambda_n$ es no es un valor propio de la restricción de nuestro operador lineal $\alpha$ a la suma directa $V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_{n-1}}$ esto es obvio ya que en una base de vectores propios esta restricción tiene una matriz diagonal con todas las entradas diagonales entre $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}\}$ . O lo que es lo mismo, $\alpha-\lambda_nI$ actúa como un operador invertible en cada uno de los sumandos $V_{\lambda_i}$ (con $i<n$ ), y por lo tanto también en su suma (combinar los inversos).