La dificultad para entender la prueba de Yoneda del Lema

Question

He estado tratando de envolver mi cabeza alrededor de Yoneda del Lexema pero no es clic. He estado leyendo este post aquí , pero necesito un poco de ayuda.

Pasé un tiempo viendo este conmutativo el diagrama de la Wikipedia:

Aquí es cómo estoy pensando acerca de esto y cómo va por mal camino. Creo que la plaza exterior nos está mostrando las imágenes de $A$ $X$ en ambos functors, luego solucionamos cualquier $f : X \rightarrow Y$ y en el interior de la plaza de la siguiente manera el comportamiento de $Hom(A,f)$$F(f)$, respectivamente, con el fin de poder establecer $\Phi_*$. Así que, claramente, $Hom(A,f)$ mapas de $id_A$ $f$(por la definición de $Hom(A,-)$). Ahora que libremente escoja $u$ (debido a que el teorema dice que cada elección lleva a una única $\Phi$). Entonces sabemos que el $F(f)$ actúa en $u$ tomando a $(Ff)u$, por lo que definimos $\Phi_X$ a que tome $f$ a que para obtener conmutatividad. Bien,pero ¿cómo este se extienden a arbitrario $X,Y$ donde ninguno de ellos es $A$ si lo único que sabe hacer es mapa de $id_A$? En otras palabras, Si en la superior izquierda esquina de la plaza, nos reemplace$Hom(A,A)$$Hom(A,Y)$, entonces ¿cómo sabemos $\Phi_Y$ $\Phi_X$ hacer lo correcto, o ¿cómo podemos saber cómo se comportan

Aquí está un diagrama donde yo intento mirar lo que sucede, por arbitraria $X$$Y$. Yo sé que tengo un $g : X \rightarrow Y$ para obtener un mapa de $Hom(A,g)$ que debe tomar una $f : A \rightarrow X$$g \circ f \in Hom(A,Y)$. Entonces sé que la esquina inferior derecha es $\Phi_Y(g \circ f)$ pero no sé donde $f$ va. Se toma desde la Wikipedia en la plaza (que se llevó $f$ $(Ff)u$ahora tengo algo como $F[(Ff)u]$ debe ser igual a $\Phi_Y(g \circ f)$?

Answer 1

OK : punto 1: a mí me parece que estás confundiendo el mapa con su imagen: es decir, $f \ne {\rm Hom} (A, f) $; en lugar de $f = {\rm Hom} (A, f) id$.

Punto 2: se dice $f$ $f_* ={\rm Hom} (A, f)$ viven en diferentes categorías - sí... a priori $f$ $id$ son MORFISMOS en una categoría, y $f_*$ en otro. La idea de Yoneda es considerar $f$ $id$ como ELEMENTOS de los CONJUNTOS, que son objetos en la categoría (Set) donde $f_*$ es una de morfismos: $id \in {\rm Hom} (A,A) $$f \in {\rm Hom} (A,B)$, de modo que tiene sentido escribir $f_*(id) =f$, es decir, $f$ es en la imagen de $f_*$.

Comentario - como he señalado en las secciones de comentarios, el de arriba originalmente estaba destinado a aparecer en la sección de comentarios, y no aquí. Estoy saliendo de ella, ya que me permite corregir aquí una falta de declaración en el original, y para la " posteridad.'

Nota: La declaración de Yoneda a menudo viene en dos "partes" - aunque la prueba es "idéntica" en ambos casos. La pregunta trata de la segunda parte.

Así que - para la integridad - aquí está la primera (incrustación) parte:

Supongamos $\mathcal C$ es una categoría donde ${\rm Hom}(A,B)$ es un conjunto, para cualquier par de objetos de $A$ $B$ - para algunas personas (me), esto es, en la definición de la categoría, pero para otros, tales categorías son llamados localmente pequeño.

Escribir ${Set}^{\mathcal C}$ para denotar la categoría de (co-variante) functors de $\mathcal C$ a la categoría de conjuntos: los objetos son functors, y las flechas son naturales transformaciones.

El Yoneda functor es el functor contravariante $Y\colon {\mathcal C} \rightarrow {Set}^{\mathcal C}$, que en los objetos lleva
$$A \mapsto {\rm Hom} (A,- ),$$ y en flechas, tarda $g \in {\rm Hom} (A,B )$ a

$$g^*\colon {\rm Hom} (B,- ) \rightarrow {\rm Hom} (A,- ),$$ donde $g^*_C\colon {\rm Hom} (B,C ) \rightarrow {\rm Hom} (A,C )$ es el mapa

$$ f \mapsto f \circ g.$$ (Estoy escribiendo el subíndice $C$$g^*_C$, de acuerdo con la notación anterior).

La "incrustación parte' de la Yoneda lema es que el (contravariante ) Yoneda functor $Y$ es fiel y completo, es decir, $g\mapsto g^*$ es inyectiva, y cada flecha (transformación natural)

$$ \Phi\colon {\rm Hom} (B,- )\rightarrow {\rm Hom} (A,- )$$ es de la forma $g^*$.

Como he mencionado en la conversación off-line, una categoría de la teoría amigo mío le gustaba decir que la Yoneda la incrustación de instrucción es una tautología, y parafrasea diciendo: "la declaración de Yoneda es: un objeto está determinado por las flechas de (o, en función de la versión de Yoneda) en el objeto. La prueba de Yoneda es: en particular, el objeto está determinada por la identidad".

En cualquier caso, la prueba de esta versión de Yoneda va como el anterior:

Si $\Phi_B(id_B) = g \in {\rm Hom} (A,C )$, entonces para calcular el $\Phi_C(f)$$f \in {\rm Hom} (B ,C )$:

Desde $f =f \circ id = f_*(id_B) $,

$$ \Phi_C (f) = \Phi_C ( f_* (id_B) ) = f_*\Phi_B(id) = f_*(g) = f\circ g = g^*_C (f),$$ por lo $\Phi = g^*$.

Para la inyectividad $g^*_B(id) = g $.

Comentario: la consistencia sugiere subíndices en $f_*$ demasiado - pero no lo hice en la primera de cambio, y hace que sea más difícil de leer de todos modos. Por lo general, uno no se en $g^*$ ...