Demostrar que $AB = 0 \iff \mathrm{im}(B) \subseteq \ker(A)$

Question

Problema 1. Demostrar que para cualquier $\ell \times m$-matriz $A$ y cualquier $m \times n$-matriz $B$,

$$ AB = 0 \quad\text{ si y sólo si }\quad \mathrm{im}(B) \subseteq \ker(A) $$

No tengo idea de como empezar esto... Soy nuevo en pruebas y esta es mi primera prueba.

Answer 1

Supongamos $AB = 0$. Deje $x\in \operatorname{Im}(B)$. A continuación, $x = By$ algunos $y$. Así $$Ax = A(By) = (AB)y = 0y = 0.$$ Thus $x\in \operatorname{Ker}(A)$.

Por el contrario, asumen $\operatorname{Im}(B) \subseteq \operatorname{Ker}(A)$. Para cada $x$, $Bx \in \operatorname{Im}(B)$ y por lo tanto $Bx \in \operatorname{Ker}(A)$, es decir, $ABx = 0$. Desde $x$ fue arbitraria, $AB = 0$.

Answer 2

Básicamente, usted necesita para mostrar estos dos hechos:

1)Si $im(B) \subseteq ker(A)$$AB=0$. Sugerencia: usar el hecho de que un vector $y$ es en la imagen de $B$ si existe un vector $x$ tal que $Bx=y$.

2) Si $AB=0$$im(B) \subseteq ker(A)$. Sugerencia: usar la anterior caracterización de $im(B)$ y la definición de $ker(A)$.

Answer 3

supongamos $AB = 0$. usted necesita mostrar $im B \subset ker A$, por lo que escoger un elemento $y$ $im B$ esto quiere decir $y = Bx$ algunos $x.$ ver el $Ay = ABx = 0$ porque $AB = 0.$ ahora hemos demostrado que para cualquier $y \in im B $ implica $Ay = 0$ $y \in kerA$ lo que demuestra si $AB = 0$, $im B \subset ker A$

supongamos $im B \subset ker A,$ necesitamos mostrar $AB = 0$ vamos a demostrar por contradicción. supongamos $AB \neq 0.$ que significa que hay un $x$ tal que $ABx \neq 0$ desde $Bx \in im B$$im B \subset ker A$. eso significa que $Bx \in kerA$ $ABx = 0$ la contradicción que buscaba.