Definición de Sigma Modelo de Ruta Integral

Question

Todas las referencias que he consultado han sido muy vagos acerca de este punto. El (2 dimensiones) no lineal sigma modelo en algunos de Riemann colector $M$ con métrica $g_{\mu\nu}$ tiene acción $$S = \frac{1}{2} \int_M d^2 \sigma~ g_{\mu \nu} \partial_\alpha X^\mu \partial_\alpha X^\nu$$ Here, $\alfa$ is the "world sheet" index describing the embedding, and $\mu$ is the target space index. When we define the path integral, it should be $$\int \mathcal{D} X e^{-S}$$ las técnicas Estándar para el cálculo de la renormalization de la sigma modelo, el de fondo de campo de expansión, convenientemente adaptados para preservar manifiesto de destino en el espacio de coordinar la invariancia. PERO, crucial en la suposición de entrar en el fondo de la expansión de campo y todo el aparato de perturbativa de la teoría cuántica de campos es que la ruta de las integrales son más lineales campo de los espacios; de lo contrario, la integral de Gauss fórmulas que nos dan los determinantes y los diagramas de Feynman romper incluso en el ámbito formal. Sin embargo, la NLSM se define como una integral sobre los mapas de curvas de colector. Por decirlo con otras palabras, la costumbre de datos discretos medida generalmente no es covariante. ¿Cómo funciona el "libro de texto enfoque" de la cuenta de este punto?

La más rápida solución sería para discretizar y definir $$\mathcal{D}X = \sqrt{\det g(X)} \prod_i dX_i,$$, pero incluso esto no es muy satisfactorio, ya que hace que la integral no-Gaussiano. Cualquier visión se agradece.

Answer 1

Esta es un área de investigación activa y el principal tema de, por ejemplo, Ref. 1. El primer paso es exponentiate la medida del factor de $$\sqrt{\det G_{\mu\nu}(X)}~=~\int \! {\cal D}a~ {\cal D}b~{\cal D}c \exp\left(\frac{i}{\hbar}\int d^2\sigma \left(b^{\mu}G_{\mu\nu}(X)c^{\nu}+\frac{1}{2}a^{\mu}G_{\mu\nu}(X)a^{\nu} \right)\right) $$ con una Gaussiana de acción de la auxiliar de campos. Aquí el campo de $a^{\mu}$ es Grassmann-incluso, mientras que $b^{\mu}$ $c^{\mu}$ son Grassmann-impar.

Referencias:

1. F. Bastianelli y P. van Nieuwenhuizen, Path Integrals y Anomalías en el Espacio Curvo, 2006.

Answer 2

Para un montón de destino espacios de trabajo, usted puede evitar estas preguntas al darse cuenta de la no lineal sigma modelo como el bajo consumo de energía descripción de un calibrado lineal sigma modelo.