¿Cuántos extremos locales puede tener un polinomio multidimensional?

Question

Digamos que tengo un $n$ polinomio dimensional de grado $m$ . Supongamos que $n\geq m$ . Ahora para un grado $m$ polinomio en una dimensión, sabemos que puede haber como máximo $m-1$ extremos locales. ¿Existe una regla similar para los polinomios multidimensionales?

Una cosa importante a tener en cuenta es que el polinomio con el que estoy trabajando es sólo términos lineales de cada dimensión, por lo que nunca habrá un $x_k^y$ para cualquier $y>1$ por ejemplo

Bien: $f(\vec x) = x_1x_2x_3 + x_1x_2 - x_3$

Mal: $f(\vec x) = x_1^2x_2 + x_3^3 - x_2$

Answer 1

Si $f(x_1,\ldots,x_n)$ es un polinomio de grado $m$ entonces los puntos críticos son la intersección de los $n$ establece $$V_i = \left\{\vec x \in \mathbb{R}^n \middle| \frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec x) = 0\right\}$$ para $i = 1,\ldots,n$ . Ahora $\partial f/\partial x_i$ tiene un grado como máximo $m-1$ Así que Teorema de Bézout te dice que la intersección tiene infinitos puntos o como mucho $$\prod_{i=1}^n \deg \frac{\partial f}{\partial x_i} \le (m-1)^n$$ puntos. Si hay infinitos puntos, entonces $\partial f/\partial x_i \equiv 0$ para algunos $i$ o $\partial f_i/\partial x_i$ et $\partial f_j/\partial x_j$ tienen un factor común (es decir $V_i$ et $V_j$ tienen un componente común) para algunos $i\ne j$ .

Así que $f$ tiene o bien infinitos puntos críticos o como mucho $(m-1)^n$ puntos críticos.