Es bien sabido que en discretos topología de un conjunto es compacto si es finito. Existen un montón de ejemplos de topologías que no son discretas pero con el hecho de que aún se mantiene, y no es difícil encontrar a algunos de ellos. ¿Hay alguna teoría acerca de (infinito) espacios topológicos en la que "compacto iff finito" se mantiene?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La propiedad que se refieren se llama "anti-pacto", y es un caso especial de anti-propiedades, de la que se puede encontrar una breve historia aquí. La idea de compacidad es que sabemos que todo lo finito subespacios están garantizados para ser compacto, y nos preguntamos para qué espacios sólo tenemos los subespacios compactos que están "obligados a ser" compacta.
Así que para una propiedad $P$, definimos $\operatorname{spec}(P)$ a ser la clase de todos los cardenales $\alpha$ tal que
Para todos los espacios topológicos $X$: si $|X| = \alpha$ a continuación, tiene la propiedad $P$.
Por lo $\operatorname{spec}(\mathcal{C}) = \{\alpha: \alpha < \aleph_0\}$ al $\mathcal{C}$ es propiedad de ser compacto.
También, $\operatorname{spec}(\text{connected}) = \{0,1\}$ p. ej.
Un espacio de $X$ a continuación, se llama anti-$P$ fib
Para todos los subespacios $A \subseteq X$: $A$ tiene la propiedad $P$ fib $|A| \in \operatorname{spec}(P)$.
Así que un anti-conectado el espacio es hereditariamente desconectado. anti-compacidad es sólo la propiedad de que cualquier espacio discreto, pero por ejemplo, también el co-contable de la topología. La historia resumen de las referencias de algunos papeles por Wilanski y Levine específicamente en anti-compacidad (a pesar de que no es que todo).
