Max dimensión del subespacio $U\subseteq V$ donde $V$ es un espacio vectorial de las funciones de $[0,1]\rightarrow \Bbb R$

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial de las funciones de $[0,1]\rightarrow \Bbb R$. ¿Cuál es la máxima posible dimensión de $U\subseteq V$, un subespacio formado de la monotonía de las funciones en $V$?

Yo estaba pensando que el enfoque de esta cuestión con el elemental de la teoría de conjuntos que aprendí a encontrar la cardinalidad de a $U$, pero que no sería posible en el intervalo de $[0,1]$.

Nunca he visto a una pregunta como esta, así que no sé qué más se puede hacer.

Answer 1

Sugerencia: Si $f$ $g$ son funciones monótonas y ninguno de ellos es un múltiplo de la otra, entonces existen números reales $\alpha$ $\beta$ tal que $\alpha f+\beta g$ es no monotónicas.

Answer 2

La cardinalidad de la monotonía funciones reales definidas en $[0,1]$ es igual a $\mathfrak{c}$. A ver ¿Cuál es la cardinalidad de un conjunto de todas las funciones monótonas en un segmento [0,1]?

Por lo tanto la dimensión de $U$ es en la mayoría de las $\mathfrak{c}$. Ahora usted será capaz de probar que la familia de funciones

$$f_\alpha(x)= \begin{cases} 0 & 0 \le x <\alpha\\ 1 & \alpha \le x \le 1 \end{casos}$$ para $\alpha \in (0,1)$ es linealmente independiente (considerar las discontinuidades de una combinación lineal). La cardinalidad de a$(f_\alpha)_{\alpha \in (0,1)}$$\mathfrak c$. Por lo tanto, la dimensión de la $U$ ( $\mathbb R$ ) es igual a $\mathfrak{c}$ (mientras que la dimensión de $V$ es igual a $2^{\mathfrak c}$).