He aprendido que 0 debe ser un valor de eigeh para un operador compacto. Pero no sé si existe un operador compacto que no tenga un vector propio distinto de cero. Cualquier pista sería muy apreciada.
Respuesta
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En primer lugar, hay que decir que $0$ no es siempre un valor propio de un operador compacto. Lo que sí es cierto es que $0$ siempre está en el espectro de un operador compacto, cuando el espacio sobre el que actúa es de dimensión infinita. Por ejemplo, el operador $T\in\mathcal B(\ell^2)$ definido por $(Tx)(n)=\frac{1}{n}x(n)$ es compacto, pero $0$ no es un valor propio de $T$ .
En cuanto a la pregunta principal, nótese que el operador cero es compacto, y el espectro de este operador es $\{0\}$ .
EDITAR Puede que haya leído mal la pregunta. Se puede construir (con relativa facilidad) un operador compacto con espectro puntual vacío, por lo tanto sin vectores propios. Un ejemplo es el operador $S\in\mathcal B(\ell^2)$ definido por $(Sx)(n)=\frac{1}{n}x(n-1)$ para $n>1$ y $(Sx)(1)=0$ . Es la composición del mencionado operador compacto $T$ (por lo tanto $S$ es compacto), con un operador de desplazamiento. Se puede demostrar que $\sigma(S)=\{0\}$ pero $0$ no es un valor propio de $S$ .
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$0$ siempre está en el espectro de un operador compacto (es decir, el conjunto de $\lambda$ -s tal que $T-\lambda I$ no es biyectiva), pero no es necesario que sea una valor propio de $T$ (es decir $T-\lambda I$ puede ser inyectiva). El resultado correcto es que, si $T$ es compacto, entonces $\lambda\in\Bbb R\setminus\{0\}$ está en el espectro $\sigma(T)$ si y sólo si es un valor propio no nulo. Además, una cuestión terminológica: eigen vectores son siempre distintos de cero.