Las oscilaciones de una suma de Möbius

Question

Definir $ S(n) = \sum_{k=1}^n {\mu(k)\over k}$ . Es conocido pero no trivial que $S(n)$ se aproxima a cero como $n$ enfoques infinito.

Aquí estamos interesados en el signo de $S(n)$ . Tenga en cuenta que el signo es siempre bien definidos desde $S(n)$ nunca es igual a cero . (Para cualquier prime $p$ en el rango $\frac{n}{2} < p < n$ , sumando $-1/p$ es el único que involucra particular prime y por lo tanto no puede ser cancelada por el resto de los términos. Y siempre hay un primer por Bertrand Postulado.)

Ya para valores pequeños de a $n$ , hay varios cambios de signo y se puede demostrar que $S(n)$ continúa a oscilar sobre el origen.

Pregunta: ¿Es cierto asintóticamente que $S(n)$ es positivo en la mitad de tiempo y negativo de la mitad del tiempo?

Gracias

Answer 1

Vamos \[\mathcal{P}^+ = \left\{x \geq 1 : \sum_{n \leq x} \frac{\mu(n)}{n} > 0\right\}, \quad \mathcal{P}^- = \left\{x \geq 1 : \sum_{n \leq x} \frac{\mu(n)}{n} < 0\right\}.\] Dudo mucho que \[\frac{1}{X} \mathrm{meas}\left(\mathcal{P}^+ \cap [1,X]\right) \quad \frac{1}{X} \mathrm{meas}\left(\mathcal{P}^- \cap [1,X]\right)\] tienen límites como $X \to \infty$ (puede ser posible para probar esto).

La correcta noción es la de una limitación de densidad logarítmica: consideramos \[\frac{1}{\log X} \int_{\mathcal{P}^+ \cap [1,X]} \, \frac{dx}{x}, \quad \frac{1}{\log X} \int_{\mathcal{P}^- \cap [1,X]} \, \frac{dx}{x}.\] Entonces uno puede mostrar de forma condicional que estos convergen a$1/2$$X \to \infty$, lo que confirma su pregunta; uno debe asumir la hipótesis de Riemann, la Independencia Lineal de hipótesis, y el obligado \[\sum_{0 < \gamma < T} \frac{1}{|\zeta'(1/2 + i\gamma)|^2} \ll T^{3 - \sqrt{3} - \delta}\] para algunos $\delta > 0$.

Esto es esencialmente contenida en la obra de Akbary y Ng mediante la combinación de Corolario 1.6 y Teorema 1.9; véase también mi MO respuesta aquí (el punto clave es el hecho de que la medida de $\nu$ es incluso sobre el origen).