Estoy revisando el libro de Van der Poorten " Una prueba que Euler se perdió... ", que expone la prueba de Apéry de que $\zeta(3)$ es irracional. En la sección 3. " Algunas explicaciones irrelevantes " (página 197 del PDF enlazado), el autor lo demuestra:
$$ \zeta(3)=\frac{5}{2} \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{ (-1)^{k-1}} {\binom {2k}{k}k^{3}}}. $$
Tengo problemas para entender una parte de su prueba. Aquí está en mis propias palabras lo que ya entiendo y donde estoy atascado.
Paso 1.
Primero consideramos la suma
$$ \sum_{k=1}^{K} \frac{a_1a_2\ldots a_{k-1}}{(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_k)}, $$
y observe que es igual a
$$ \frac{1}{x}-\frac{a_1a_2\ldots a_{K}}{x(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_K)}. $$
Esto se puede demostrar fácilmente definiendo $A_K=\frac{a_1a_2\ldots a_{K}}{x(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_K)}$ . La identidad se convierte entonces en:
$$ \sum_{k=1}^{K} (A_{k-1} - A_k) = A_0 - A_K, $$
lo cual es trivialmente cierto.
Paso 2.
En un segundo paso, definimos $x=n^2$ y $a_k=-k^2$ , para $k\leq K\leq n-1$ y utilizar la identidad de la suma anterior para obtener
$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\ldots(n^2-k^2)}. $$
De lo anterior sabemos que esto debe ser igual a $A_0-A_K$ por lo que tenemos:
$$ \frac{1}{n^2}-\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!^2}{n^2(n^2-1^2)\ldots(n^2-(n-1)^2)}, $$
y después de simplificar tenemos la versión compacta:
$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\ldots(n^2-k^2)}=\frac{1}{n^2}-\frac{2(-1)^{n-1}}{n^2 \binom{2n}{n}}. $$
Paso 3.
Ahora intentaremos encontrar una representación alternativa de los términos dentro de la suma, es decir, $\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\ldots(n^2-k^2)}$ . De hecho, al definir
$$ \epsilon_{n,k}=\frac{1}{2}\frac{k!^2(n-k)!}{k^3(n+k)!}, $$
observamos que los términos de la suma pueden escribirse como
$$ \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\ldots(n^2-k^2)} = (-1)^k n (\epsilon_{n,k}-\epsilon_{n-1,k}). $$
Utilizando esta observación, la suma puede escribirse ahora de forma alternativa como
$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\ldots(n^2-k^2)} = \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n (\epsilon_{n,k}-\epsilon_{n-1,k}). $$
La cuestión.
Van der Poorten "concluye" entonces que:
$$ \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n (\epsilon_{n,k}-\epsilon_{n-1,k}) = \frac{1}{n^3}-\frac{2(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}}. $$
Pero esto está en contradicción con la identidad obtenida en Paso 2 ¡! De hecho, esto significaría que la suma
$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!^2}{(n^2-1^2)\ldots(n^2-k^2)} $$
es igual a ambos
- $\frac{1}{n^2}-\frac{2(-1)^{n-1}}{n^2 \binom{2n}{n}}$ y
- $\frac{1}{n^3}-\frac{2(-1)^{n-1}}{n^3 \binom{2n}{n}}$ .
Es evidente que me falta algo aquí. ¿Qué es?
