Una discreta innumerables subconjunto de $\ell^\infty$ en la topología débil

Question

Deje $\ell^\infty$ denotar el espacio de todos los delimitada real de secuencias con la norma habitual y deje $A=\{0,1\}^\mathbb{N}$ denota el conjunto de secuencias de toma valores en $\{0,1\}$. Es fácil ver que $A$ es cerrado y discreto en la norma de la topología de $\ell^\infty$. ¿Sigue siendo cerrado o discreta en la topología débil de $\ell^\infty$ ?

Si este ejemplo no funciona, podemos construir otro innumerables subconjunto de $\ell^\infty$ que es discreto y cerrado en la topología débil?

Tengo también una pregunta relacionada. En el espacio de $L^\infty[0,1] $ mensurables esencialmente limitado de funciones, considerar el subconjunto $B$ de las funciones características de los intervalos de $[0,t]$$t\in[0,1]$. Aquí también, podemos ver que $B$ es cerrado y discreto en la norma de la topología. Es todavía discretos en la topología débil?

Answer 1

No sé la respuesta a su pregunta relacionada con el y no he averiguado si o no $A$ es discreta en la topología débil (sospecho que no), pero hay bastante agradable, en la que explícitamente se puede describir subconjuntos de a $A$ que son definitivamente cerrado y discreto en la topología débil.

Fijar un bijection $\gamma : \mathbb{N} \rightarrow 2^{<\omega}$ donde $2^{<\omega}$ es el conjunto finito de cadenas binarias. Deje $B=\{x\subset \mathbb{N}:\gamma (x)\text{ is the set of finite initial segments of some }\alpha \in 2^\omega\}$. A ver que $B$ es cerrado, tenga en cuenta que $A$ bajo la débil* la topología de la homeomórficos a Cantor espacio, es decir, $2^\mathbb{N}$ con el producto estándar de la topología (esto es implícita por Theo en su argumento de que se cerrado, ya que el $f_n$'s son todos los elementos de $\ell^1$). $B$ se cierra como un subconjunto de a $2^\mathbb{N}$ porque es igual a $\bigcap_{n=0}^\infty B_n$ donde $$B_n = \{x \subseteq \mathbb{N} : \gamma(x)\cap 2^{<n}\text{ contains a string of each length }< n\text{ and is linearly ordered by extension}\},$$ which is a collection of clopen sets since each $B_n$ only depends on finitely many 'coordinates' ($2^{<n}$ is the set of finite binary strings of length $<n$). Since the weak* topology is coarser than the weak topology, $B$ is closed in the weak topology as well. Also clearly $B$ has the same cardinality as $2^\omega$ y, en particular, es incontable.

A ver que $B$ es discreto, tenga en cuenta que como una familia de subconjuntos de $\mathbb{N}$, $B$ tiene la propiedad de que es 'casi discontinuo, lo que significa que para cualquier $x,y\in B$ con $x\neq y$, $x\cap y$ es finito: Supongamos que $x$ corresponde a la secuencia de $\alpha \in 2^\omega$ $y$ corresponde a la secuencia de $\beta \in 2^\omega$, $\alpha \neq \beta$, por lo que sólo pueden tener un número finito de segmentos inicial en común.

Para cada una de las $x\in B$, vamos a exponer un elemento $f_x$ del espacio dual $(\ell^\infty )^\ast$ tal que $f_x(x)=1$ $f_x(y)=0$ todos los $y\in B$$x \neq y$. Deje $\mathcal{F_x}$ ser el filtro de Fréchet en $x$, es decir,$\mathcal{F_x}=\{z\in A:x\backslash z\text{ is finite}\}$. Extender $\mathcal{F}_x$ a un ultrafilter $\mathcal{U}_x$. Tenga en cuenta que por la construcción de $x\in \mathcal{U}_x$, pero $y\notin\mathcal{U}_x$ cualquier $y\in B$$x\neq y$.

Por la respuesta a esta pregunta, el finitely aditivo medida en $\mathbb{N}$ $\mathcal{U}_x$ ($\mu(Q)=1$ si $Q\in \mathcal{U}_x$ $0$ lo contrario) le da un elemento de $(\ell^\infty)^\ast$, $f_x$, con la propiedad de que para $y\in A$, $f_x(y)=1$ si $y\in\mathcal{U}_x$ $f_x(y)=0$ si $y\notin\mathcal{U}_x$, así que tenemos que $f_x(x) =1$ $f_y(y)=0$ todos los $y\in B$ $x\neq y$ como se requiere.

Así que ahora el conjunto $B$ es discreto porque cada una de las $x\in B$ tiene una débil vecindario $V_x = \{z\in\ell^\infty:f_x(z)>\frac{1}{2}\}$ tal que $V_x \cap B = \{x\}$.