Un sistema de ecuaciones logarítmicas con parámetros

Question

$Let$ $a,b,c>0$

$$\begin{cases}\log_a(b^x)=2\\\log_b(c^x)=2\\\log_c(a^x)=5\end{cases}$$

$$x=?$$

Así que mi intento es usar el logarítmica de la definición:

$$\log_a(b^x)=2\iff b^x=a^2$$

Por una lógica similar,

$$a^x=c^5$$ $$c^x=b^2$$

Por lo tanto, si agregar todo junto, debemos obtener:

$$a^x+b^x+c^x=a^2+b^2+c^5$$

A mí me parece que x es igual a 2 números diferentes al mismo tiempo, lo cual es extraño, ¿qué estoy haciendo mal aquí?

Voy a ser un estudiante de matemáticas en el año próximo, esto es tomado de la Tel Aviv university preparación de material - no debería ser demasiado complejo.

Answer 1

No hace falta usar el logaritmo natural: a partir de $$\begin{cases} \log_a b^x=2 \\\log_b c^x=2 \\\log_ca^x=5 \end{casos} \iff \begin{cases} x\log_a b=2 \\x\log_b c=2 \\x\log_ca=5 \end{casos} $$ deducir fácilmente que $$x^3(\underbrace{\log_ab\,\log_b c\,\log_c a}_{=1})=20.$$

Answer 2

El uso de cambio de base y el poder formulea, tenemos \begin{eqnarray*} x \ln b = 2 \ln a \\ x \ln c= 2 \ln b \\ x \ln a = 5 \ln c \\ \end{eqnarray*} Así \begin{eqnarray*} x^3 \ln a = 5 x^2 \ln c= 10 x \ln b =20 \ln a \\ \end{eqnarray*} Debe ser fácil de aquí ?

Answer 3

$\displaystyle\begin{cases}\log_a(b^x)=2\\log_b(c^x)=2\\log_c(a^x)=5\end{cases}\implies \begin{cases}\frac{\ln(b^x)}{\ln(a)}=2\\\frac{\ln(c^x)}{\ln(b)}=2\\\frac{\ln(a^x)}{\ln(c)}=5\end{cases}$

$\ln(b^x)=2\ln(a)\\\ln(c^x)=2\ln(b)\\\ln(a^x)=5\ln(c)$

sumando a todos nos da :

$\ln(b^x)+\ln(c^x)+\ln(a^x)=2\ln(a)+5\ln(c)+2\ln(b)$

$\implies x\bigg(\ln(b)+\ln(a)+\ln(c)\bigg)=2\ln(a)+5\ln(c)+2\ln(b) $

$\implies x= \dfrac{2\ln(a)+5\ln(c)+2\ln(b)}{\ln(b)+\ln(a)+ln(c)}$

Answer 4

El poder de logaritmo puede ser transferido a la frente como un coeficiente de

$$ \log_a b^x=2 \rightarrow \,x\log_a b= \frac{x\cdot\log b}{\log a}=2 $ $ , con independencia de cualquier base elegida, necesita aún no se menciona ( en tanto que es real);

$$ \frac{x\cdot\log b}{\log a}\cdot\frac{x\cdot\log c}{\log b}\cdot\frac{x\cdot\log a}{\log c}= 2\cdot 2\cdot 5= 20$$

$$ x^3=20,\, x= 20^{1/3}. $$