¿Qué hay de malo en este método de resolver una ecuación de diferencia?

Question

Considere la posibilidad de:

$$y_{n+1} = 2y_n + 1$$

Para resolver este creo que tengo que encontrar "ninguna" una solución particular y lo agrega a una solución homogénea.

Una solución homogénea es $2^ny_0$

Para una solución particular, si I sustituto $y_n = an$, $$a(n+1) = 2 ¡un + 1 > \implica a = \dfrac{1}{1-n}$$

Esto le da la solución completa $$y_n = \color{red}{\dfrac{n}{1-n}}+2^ny_0$$

Sin embargo, para una solución particular, si I sustituto $y_n=b$, me sale $$b=2b+1 \implies b=-1$$

Esto le da la solución completa $$y_n=\color{red}{-1}+2^ny_0$$

Estas dos soluciones parecen ser muy diferentes. No veo donde he cometido un error.

Cualquier solución particular va a trabajar en la solución completa, ¿verdad?

Si es así, ¿por qué las dos soluciones particulares por encima de dio aparentemente diferentes soluciones generales?

Answer 1

No hay una solución particular del formulario$y_n = an$, ya que, suponiendo que$a$ sea constante, descubriste que$a$ debe satisfacer$a=1/(1-n)$, al contrario de la suposición de que$a$ es constante.

Answer 2

Tenga en cuenta que$a=1/(1-n)$ no es constante, por lo que no hay una solución particular de la forma$y_n=an$. Por otro lado, hay uno de la forma$y_n=b$ con$b=-1$ (que no depende de$n$).

Answer 3

Yo creo que donde realmente salió mal es este:

Usted escribió que, si $y_n = an$, a continuación, $a = \frac{1}{1 - n}$. Pero la suposición de $y_n = an = \frac{n}{1-n}$ es falso , para empezar, por lo que el hecho de que se deriva de algo a partir de una premisa falsa no significa nada.

Ahora, ¿por qué es la suposición falsa?

Bien¹, de acuerdo a su hipótesis de $y_n = an$ tenemos $$y_n = \frac{n}{1-n}$$ a la derecha? El enchufe de modo que en la ecuación original. Funciona?

$$\frac{(n+1)}{1-(n+1)} = 2 \frac{n}{1-n} + 1$$

Recuerde, esto está implícito en su asunción. Pero esto sólo vale para $n = -1$.

En otras palabras, no va a funcionar para cualquier otro $n$ $-1$ ... ni $-2$ ni $0$ ni $1$, etc...

Por lo que su suposición de que $y_n=an$ mantiene para todos los $n$ se contradice, por lo que no puede ser cierto.

_{¹ Alguien afirmó que derivado de este incorrectamente demasiado, pero eso es un error de cálculo por separado de lo que yo estoy tratando de mostrar, que es el error en su razonamiento. Yo sólo suponga que usted hizo los cálculos derecho y mostrar donde la lógica que salió mal.}

Answer 4

Solución homogénea es $2^ny_0$

No, el general de la solución homogénea es $\,C \cdot 2^n\,$ para algunas constantes $\,C\,$.

Esto le da la solución completa $\quad y_n=\color{red}{-1}+2^ny_0$

Excepto que esto no funciona si trata de hacerlo por $\,n=0\,$ o $\,n=1\,$. Véase la nota por encima de la razón.

En su lugar, usted debe conseguir que el $\,y_n = -1 + C \cdot 2^n\,$, donde la constante $\,C\,$ se determina a partir de la condición inicial $\,y_0 = -1 + C \cdot 2^0 \iff C = y_0+1\,$

Para resolver este creo que necesito encontrar "ninguna" una particular soln y agregar a solución homogénea.

Alternativamente, se puede resolver directamente por la reescritura de la recurrencia como $\,y_{n+1}+1=2\left(y_n+1\right)\,$. De ello se desprende que $\,y_n+1\,$ es una progresión geométrica, y por lo tanto $\,y_n+1 = 2^n(y_0+1)\,$, lo $\,y_n=\ldots\,$

Answer 5

El problema es que$a$ es una función de n:

$$y_n = a_nn$ $$$a_{n+1}(n+1) = 2a_nn + 1$ $$$a_{n+1}n+a_{n+1} = 2a_nn + 1$ $$$a_{n+1}n-2a_nn+a_{n+1}=1$ $$$(a_{n+1}-2a_n)n+a_{n+1}=1$ $

Desde aquí, no puede combinar$a_{n+1}-2a_n$ en solo$-a$.