Dos ejercicios de análisis funcional.

Question

Me he encontrado con dos preguntas que, después de algunos intentos, aún no he podido resolver ni encontrar soluciones disponibles en Internet. ¿Podría alguien ofrecerme alguna idea?

1. Dejemos que $ H $ sea un espacio de Hilbert sobre $\mathbb{C}$ y $T \in B(H,H)$ un operador unitario. Para $ n \in \mathbb{N} $ set $$ S_n : = \frac {1}{n}( I + T + ... + T^{n-1} ) .$$ Demuestra que $S_{n}v \longrightarrow P_{M}v $ como $ n \rightarrow \infty $ donde $ P_{M} $ es la proyección ortogonal sobre el subespacio $ \text{Ker}(I - T) $ .

2. Dejemos que $E$ sea un espacio vectorial normado sobre $\mathbb{K}$ , dejemos que $M \subseteq E $ sea un subconjunto y supongamos que $ \sup_{ v \in M} |f(v)| < \infty $ para un todo funcional $f \in B(E, \mathbb{K})$ . Demostrar que $M$ está acotado.

Por lo que he oído, la segunda pregunta no pretende ser difícil. Sin embargo, como $E$ no está completo no hay mucho teorema con el que pueda trabajar. Pensé que tal vez trabajando con el espacio de Banach $ B(E,\mathbb{K}) $ pero no llegó a ningún resultado. ¡Todavía soy un novato en FA así que cualquier ayuda sería muy apreciada!

Gracias.

Answer 1

La segunda cuestión es una aplicación de la delimitación uniforme. Sea $j:E\to E^{**}$ sea la incrustación natural y considere $j(M)\subset B(E^*,\Bbb K)$ . Para todos los $f\in E^*$ tienes $\{ j(m)\,(f)=f(m) \mid m\in M\}$ está acotado. Por acotación uniforme el conjunto $j(M)$ está acotado en $E^{**}$ . Pero $j$ es una incrustación isométrica, por lo que $M$ debe estar acotado en $E$ .

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La primera cuestión puede hacerse con el teorema espectral para operadores unitarios o mostrando explícitamente $S_nv\to 0$ si $v\in \ker(I-T)^\perp$ y observando $S_nv=v$ si $v\in \ker(I-T)$ . De esto se deduce que $S_n$ converge puntualmente a la proyección sobre $\ker(I-T)$ .

Ahora la segunda parte es trivial, pues la primera nota $\|S_n(I-T)\| = \|\frac1n(I-T^n)\|\frac2n$ . Ahora $\langle(I-T)v,w\rangle=\langle v,(I-T^*)w\rangle$ de la cual $$\mathrm{im}(I-T)^\perp = \ker(I-T^*)=\ker(I-T).$$ Esto significa que $\mathrm{im}(I-T)$ es denso en $\ker(I-T)^\perp$ . Así que para cualquier $\epsilon>0, v\in \ker(I-T)^\perp$ encontramos un $w$ con $\|v-(I-T)w\|<\epsilon$ . A continuación $$\|S_nv\|\|S_n\|\,\|v-(I-T)w\|+\|S_n(I-T)w\|\epsilon+\frac2n\|w\|.$$ Como $n$ va al infinito se encuentra que $\limsup_n\|S_nv\|\epsilon$ que era arbitraria. De ello se desprende $S_nv\to 0$ para $v\in \ker(I-T)^\perp$ .

Answer 2

$(I-T)(S_n(v))={1\over n}(I-T)(I+...+T^{n-1})(v)={1\over n}(v-T^n(v))$ .

Esto implica que $\langle (I-T)(S_n(v)),(I-T)(S_n(v))\rangle={1\over n^2}(\|v\|^2+\|T^n(v)\|^2-\langle v,T^n(v)\rangle-\langle T^n(v),v\rangle)$ .

Desde $\|T^n(n)\|=\|v\|$ y $|\|\langle v,T^n(v)\||\leq ||v||\|T^n(v)||=\|v\|^2$ Deducimos que $lim_n(I-T)(S_n(v))=0$ ,

$\langle S_n(v)-v,S_n(v)\rangle=0$ para ver esto, observa que

$\langle S_n(v),S_n(v)\rangle= {1\over n}\sum_{i=0}^{n-1}\langle T^i(v),S_n(v)\rangle$ y $\langle T^i(v),S_n(v)\rangle=\langle v,S_n(v)\rangle$ desde $\langle T^p(v),T^q(v)\rangle =\langle v,T^{q-p}(v)\rangle, q\geq p$ . Deducimos que $\langle v,S_n(v)\rangle=\langle v,S_n(v)\rangle$ y $\langle S_n(v)-v,S_n(v)\rangle=\langle S_n(v),S_n(v)\rangle-\langle v,S_n(v)\rangle=0$ . Esto implica que $\langle lim_nS_n(v)-v,lim_nS_n(v)\rangle=0$ .