¿Cuántas caras tiene el $n$-dimensional del cubo de $I^n$?

Question

Estoy tomando una línea de Coursera curso de Cálculo, y esta pregunta apareció como uno de los retos de los problemas que se reproducen a continuación. Tuve un tiempo difícil la comprensión de la respuesta, que fue $I^n$ $2n$ caras.

Este problema se refiere a la frontera del operador $\partial$ a partir del material adicional. Denotaremos por I la unidad cerrada intervalo de $[0,1]$. Entonces, como se observa, $\partial I=\{0\}\cup\{1\}$ es la unión de dos puntos. Vamos a conseguir un poco de creatividad. Denotar por $I^n$ "$n$- cubo", es decir, el producto Cartesiano de a $n$ intervalos de tiempo:

$$I^n = I \times I \times \cdots \times I$$

Esta es una bien definida y perfectamente razonables $n$-dimensiones del cubo. (Sólo porque usted no puede visualizar no quiere decir que no puede existir!) Nota que $I^1=I$ $I^0$ es de un solo punto (cero-dimensional del cubo!). Como el paso hacia la construcción de un "cálculo de espacios", vamos a escribir $∂I^1=2I^0=2$ como una manera de decir que el límite de un intervalo consta de dos puntos y que $I^0=1$.

El límite de un n-dimensional del cubo se compone de un cierto número de $(n−1)$-dimensiones de los cubos (llamado "caras"). Por ejemplo, un cuadrado de ($I^2$) tiene cuatro caras. El uso de lo que usted sabe acerca de los derivados, responder a esta: ¿cuántas caras tiene $I^n$?

Answer 1

Sugerencia: Como construir el $n$ dimensiones del cubo de la $n-1$ dimensiones, que se extienden en una nueva dirección. Como tal, todos los $n-2$ dimensiones de los límites de la $n-1$ dimensiones del cubo convertido $n-1$ dimensiones de los límites de la $n$ dimensiones del cubo. Usted debe ser capaz de imaginar esto para $n=1,2,3$. Use esto para establecer una relación de recurrencia que se puede resolver.

Answer 2

Hay un montón de maneras de resolver este problema. Lo mejor es encontrar uno para usted mismo. Si usted no tiene una pista, empieza con los casos que son fáciles de entender: un segmento de línea que tiene dos vértices de un cuadrado tiene cuatro lados, y un cubo tiene seis caras. Ahora intenta comprender la relación entre la dimensión, $n$, y el número de caras, $2n$.

Pero aquí hay una solución: una cara es determinado por la elección de una coordenada $i$, $1 \leq i \leq n$ y tomando todos los elementos con $i$th coordinar $0$ o de todos los elementos con $i$th coordinar $1$. (Así, por ejemplo, la cara superior del cubo unitario $[0,1]^3$$\{ (x,y,1) \ | \ 0 \leq x,y \leq 1 \}$.) Así que hay $2n$ caras por completo.