Se puede cambiar la $\triangle$proporción de la integral de Riemann? $\int_a^b f(x)(a(dx))^{b(dx)}\quad a,b\in \mathbb R^{\neq0}$

Question

Me pregunto si podemos tomar la integral de la siguiente o no? Y, ¿tienen algún sentido?

$$f:\quad\text{is continious in [a,b]}$$$$\displaystyle\int_a^b f(x)(dx)^2\tag1$$

$$\displaystyle\int_a^b f(x)a^{(dx)}\quad\quad (a\in\mathbb R)\tag2$$

$$\int_a^b f(x)(dx)^{(dx)}\tag3$$

Sabemos que la definición de integral de Riemann, https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral

Por lo tanto,Si escribimos la forma de Riemann,por ejemplo,$(1)$;

$$\displaystyle\int_a^b f(x)(dx)^2=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)\left(\frac{b-a}{n}\right)^2=\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n}_{\int}\underbrace{f\left(a+i\frac{b-a}{n}\right)\left(\frac{b-a}{n}\right)}_{\text{What is it?}}\underbrace{\left(\frac{b-a}{n}\right)}_{dx}$$

Lo que voy a preguntar es ¿cómo podemos evaluar y darles un sentido?

Answer 1

Usted puede tratar de hacer eso, pero no parece que voy a conseguir algo que valga la pena. Por ejemplo, el uso de las definiciones que hemos

$$ \int_a^b f(x) \, (dx)^2 = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n f \left( a + i \frac{b - a}{n} \right) \left( \frac{b - a}{n} \right)^2 \right) = \\\lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^n f \left( a + i \frac{b - a}{n} \right) \left( \frac{b - a}{n} \right) = \\ \left( \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \right) \left( \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f \left( a + i \frac{b - a}{n} \right) \left( \frac{b - a}{n} \right) \right) = 0 \cdot \int_a^b f(x) \, dx = 0 $$

para todos los contínua $f$. Del mismo modo, si $c \geq 1$$f > 0$, luego

$$ \int_a^b f(x) c^{dx} = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n f \left( a + i \frac{b}{n} \right) c^{\frac{b}{n}} \right) \geq \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f \left( a + i\frac{b}{n} \right) = \infty. $$