Hesaplamak

Question

Necesito demostrar que %#% $ #%

Pero esto es algo que parece muy poco probable tener un límite, sino me equivoco probablemente. Wolfram Alpha dice '$$ \lim_{n\to+\infty}\cos{\big{(}\pi \sqrt{n^2+n}\big{)}}=1$ $0$'. ¿Qué es aún? ¿Cómo demostrarlo?

Si usted podría proporcionar solamente una sugerencia (si existe este límite) así puedo terminar la tarea yo mismo.

Answer 1

El límite no es $1$.

Sugerencia: $n^2+n=\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$.

Mostrar que $$\pi\sqrt{n^2+n}-\pi\left(n+\frac12\right)\to 0.$$

Tenga en cuenta que este es un ejemplo de una ambigüedad en el $\lim$ notación.

Si usted, en cambio, pidió $\lim_{x\to\infty} \cos\left(\pi\sqrt{x^2+x}\right)$, usted no tiene límite. El continuo límite, en lugar de la secuencia de límite, es lo que Wolfram Alpha es la informática.

Answer 2

$$ \begin{align} &\cos\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)\\ &=\cos\left(\pi\left(n+\sqrt{n^2+n}-n\right)\right)\\ &=\cos\left(\pi\left(n+\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)\right)\\ &=\cos\left(\pi n\right)\cos\left(\pi\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)-\sin\left(\pi n\right)\sin\left(\pi\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\right)\\ &=(-1)^n\cos\left(\frac\pi{\sqrt{1+1/n}+1}\right) \end{align} $$ Desde $$ \lim_{n\to\infty}\cos\left(\frac\pi{\sqrt{1+1/n}+1}\right)=\cos(\pi/2)=0 $$ tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\cos\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)=0 $$

Answer 3

Desde $$0\leq \left(n+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{n^2+n} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(n+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{n^2+n}}\leq\frac{1}{8n}$$ tenemos que, mientras $n\to +\infty$, $\pi\sqrt{n^2+n}$ se acerca más y más a $\pi\left(n+\frac{1}{2}\right)$.

Desde $\cos\left(\pi\left(n+\frac{1}{2}\right)\right)=-\sin(\pi n)$ y el coseno es una función continua, el límite es sólo $\color{red}{0}$.

Answer 4

Cuando $n \to \infty$

$$\sqrt{n^2+n} \approx n + \frac{1}{2}$$

$$\cos\left(\pi\left(n+\frac{1}2\right)\right)=0.$$