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Problema de fracciones. La pregunta de un alumno de 3er grado hizo pensar a los padres

Así que nuestro hijo de nueve años llega a casa desde el tercer grado y nos cuenta un increíble que ha sucedido hoy en la escuela. Estaba jugando a un juego de matemáticas con su amigo y ¡han sacado la misma puntuación dos veces seguidas!

Aquí estaba el juego:

Baraja de 32 cartas, cada carta está en blanco en el anverso y tiene una fracción $\frac{1}{N}$ en la parte trasera, es decir $\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}..., \frac{1}{32}\}$ . No se repite ninguna fracción. Dos jugadores, se barajan las cartas, se divide el mazo en dos para cada jugador. Es como Guerra . En cada ronda cada jugador juega su carta superior (al azar). El jugador que tenga una fracción mayor se lleva las dos cartas y las deja a un lado. Después de 16 rondas los jugadores cuentan las cartas que han ganado. El que tenga más cartas gana la partida.

A nuestro hijo de nueve años le pareció increíble que tanto él como su compañero tuvieran 16 cartas al final de la partida.

  • La pregunta es, usando nada más elegante que el álgebra, cuáles son las probabilidades de que ambos jugadores acaben con el mismo número de cartas después de una partida (16 manos).

  • La cuestión más interesante es cómo explicar la respuesta a un niño de tercer grado.

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Shabaz Puntos 403

Las fracciones no importan, sólo que las cartas estén ordenadas en fuerza y que no haya empates. Cada jugador terminará con $16$ tarjetas si cada uno gana $8$ rondas. Como las rondas son independientes, la posibilidad de que esto ocurra es ${16 \choose 8}\frac 1{2^{16}}=\frac {16!}{8!8!2^{16}} \approx 19.64\%$ Podrías ver Wikipedia sobre el coeficiente binomial central y este cálculo de Alpha del resultado.

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A.Chakraborty Puntos 603

Utilice el hecho (donde los eventos X e Y se definen adecuadamente) de que P(X < Y) = 1/2 = P(X > Y) (ya que aquí, X=Y no es una posibilidad, las fracciones son distintas).

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