Dos ideales distintos con el mismo annihilator

Question

¿Es esto siempre cierto? $$(a)\subsetneq (b)\Rightarrow \text{Ann}_R b\subsetneq \text{Ann}_R a$$

¿Si es false, puede por favor darnos un ejemplo? También lo es la clase más numerosa de aros que hacen la declaración anterior es cierto.

ACTUALIZACIÓN: para hacerlo más interesante, que $a,b$ ser cero divisores.

-Gracias-

Answer 1

Supongamos que nuestro anillo de $R$ es reducido, es decir, no tiene distinto de cero nilpotents (y conmutativo con identidad).

A continuación, el destructor de cualquier elemento es un radical ideal (si $x^n a = 0,$ $(xa)^n = 0,$ $xa = 0$ ).

Por tanto, el aniquilador de $a$ es, precisamente, la intersección de los prime los ideales de la $\mathfrak p$ en el apoyo de $a$, es decir, que los $a$ tiene un no-cero la imagen en la localización de la $R_{\mathfrak p}$.

Ahora, supongamos también que el $R$ es Noetherian. Entonces el soporte de cualquier elemento es una unión de irreductible componentes de Espec $R$. (Esta es una propiedad general de la reducción de la Noetherian anillos.) Así que tu pregunta equivale a preguntar: ¿bajo qué condiciones en $R$ (asumido ahora Noetherian y reducido) se hace necesario que cualquiera de los dos elementos $a$ $b$ apoyado en el mismo conjunto de componentes de Espec $R$ generar el mismo ideal.

Desde $a$ $a^2$ siempre tienen el mismo soporte, se encuentra que $a$ $a^2$ tendría que generar el mismo ideal para todos los $a \in R$. A partir de esto no es difícil deducir que $R$ está obligado a ser un producto finito de campos.

Así que al menos para la reducción de Noetherian anillos, su propiedad deseada sólo tiene si el anillo es un producto de los campos. (Sin duda es una muy restrictiva de la propiedad.)

Observación General: a menudo se puede obtener información sobre estos tipos de preguntas trabajo geométricamente en la Especificación del anillo, donde se puede "ver" el sentido de los diversos algebraica de los conceptos en términos geométricos.

Answer 2

Deje $R=\mathbb{Z}$, que es una integral de dominio. Tenemos $(4)\subsetneq (2)$, pero $\text{Ann}(2)=(0)=\text{Ann}(4)$.

Conforme a lo solicitado, este es un ejemplo donde $a$ $b$ cero divisores: $(2x)\subsetneq(2)$$(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})[x]$, pero $\text{Ann}(2x)=(2)=\text{Ann}(2)$.

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Creo que he destilada lo trabajado sobre el ejemplo anterior. Deje $R$ ser cualquier anillo con al menos un no-cero cero divisor $r\in R$ y al menos uno distinto de cero-divisor, no de una unidad de $s\in R$. A continuación, $x(rs)=(xr)s=0$ si y sólo si $xr=0$, por lo que el $\text{Ann}(rs)=\text{Ann}(r)$, pero $$(rs)=(r)(s)\subsetneq (r)(1)=(r).$$ Si $R$ no es de la anterior clase, ni hay ningún cero divisores (es decir, $R$ es una parte integral de dominio), o cada elemento es un cero divisor o una unidad (es decir, $R$ es cierta total anillo de fracciones). Por lo que cualquier anillo de $R$ que no es una de estas cosas va a trabajar. Aunque en realidad si $R$ es una parte integral de dominio, a continuación, supongo que la declaración de que $(a)\subsetneq (b)\Rightarrow\text{Ann}(b)\subsetneq\text{Ann}(a)$ para todos cero divisores $a$ $b$ es vacuously verdadero.