Interpretación de los componentes del 4-momentum en QFT

Question

En relativista QFT se utiliza cuatro impulso de vectores $P^\mu$ que combina la energía de un sistema con su impulso. Estoy confundido acerca de la interpretación física de los componentes individuales de $P^\mu$.

Supongamos que la firma de la métrica es $(1,-1,-1,-1)$. El cero de componente $P^0=P_0$ tiene, claramente, la interpretación de la energía del sistema. Pero, ¿qué es la espacial momento del sistema en la dirección de $x$ eje? Es $P^1$ o $P_1$?

Creo que la mayoría de la gente considere el $P^1$ $x$ componente espacial de la inercia. Sin embargo, lo que parece que el espacio-tiempo de las traducciones se implementan de forma diferente en QM y QFT. En QM el estado $\psi$ del sistema desplazado en el tiempo por $t$ y en el espacio por $(x,y,z)$ está dado por

$$ \exp\left(-\frac{i}{\hbar}~ t\,P^0 -\frac{i}{\hbar} ~(x P_x+y P_y + z P_z)\right) \psi,$$

donde $P^0\equiv H$ es el hamiltoniano del sistema y $P_x$, $P_y$, $P_z$ son los componentes físicos de la ordenación impulso. Por otro lado, en QFT el estado $\psi$ del sistema desplazado en el espacio-tiempo de cuatro vectores $x=(t,x,y,z)$ está dado por

$$ \exp\left(-\frac{i}{\hbar} P\cdot x\right) \psi= \exp\left(-\frac{i}{\hbar}~ t\,P^0 +\frac{i}{\hbar} ~(x P^1+y P^2 + z P^3)\right) \psi,$$

que es equivalente a la fórmula anterior si $P_1$ espacial momento del sistema en la dirección de $x$ eje ( $P_1 = P_x$ $P^1=P_x$).

Answer 1

En general, en especial de la relatividad de einstein ha $P^{\mu}=(E,\vec p)^{\mu}$ $P_{\mu}=(E,-\vec p)$ si $+---$ firma de la métrica elegida o $P_{\mu}=(-E,\vec p)_{\mu}$ lo contrario. Voy a seguir a la primera opción en este post. En nonrelativistic $QM$ operadores de $H=i \partial _t$$\vec p= -i \vec \nabla$. Ahora recuerdo (o con cheque) que el operador de la derivada naturalmente se transforma como un covector, es decir, como si tuviera un índice inferior. Así que tenemos $\partial_{\mu}=(\partial_t, \vec \nabla)_{\mu}$$\partial ^{\mu} = (\partial_t, - \vec \nabla)^{\mu}$. Por lo tanto, usted puede hacer una identificación de $P^{\mu}=i \partial ^{\mu}$. Ahora si se actúa sobre una función de onda que usted consigue $$ e^{-iP^{\mu}a_{\mu}} \psi (t ,\vec x) = e^{a^0 \partial_t + \vec a \cdot \vec \nabla} \psi (t, \vec x) = \psi (t+a^0, \vec x + \vec a). $$ Por lo tanto creo que esta notación es bastante consistente. Tenga en cuenta también que bastante general (también en, digamos, el electromagnetismo y la óptica espacial dependece de un avión de onda que se propaga en el $z$-la dirección es $e^{-i \omega t + i k z}$. No debe ser relativa signo de la diferencia entre estos dos términos en el exponente, porque sólo entonces las superficies de la constante de fase de viajes en el positivo (en lugar de lo negativo) $z$ dirección.

Ahora un poco de confusión puede surgir debido al hecho de que las coordenadas espaciales juego en lugar de las diferentes funciones de QM y QFT. En QM no es $\vec x$ operador y las funciones de onda puede ser ampliado en su eigenbasis con los coeficientes de la expansión wavefunctions dependiendo $\vec x$. Por otro lado $t$ es sólo un parámetro de etiquetado ket estados en diferentes momentos. En QFT no es $\vec x$ operador así como el no $t$ operador.