Hipergeometric 2F1 con c negativo

Question

Tengo esta serie hipergeométrica

$_2F_1 \left[ \begin{array}{ll} a &-n \\ -a-n+1 & \end{array} ; 1\right]$

donde $a,n>0$ $a,n\in \mathbb{N}$

El problema es que $-a-n+1$ es negativo en este caso. Así que cuando trato de usar la identidad de Gauss

$_2F_1 \left[ \begin{array}{ll} a & b \\ c & \end{array} ; 1\right] = \dfrac{\Gamma(c-a-b)\Gamma(c)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$

Me dan negativos los parámetros de la $\Gamma$ función.

¿Qué otras identidad que puedo usar?

Estoy tratando de encontrar una forma cerrada para esto: $\sum _{i=0}^n \binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i}$

Wolfram Mathematica respondió a esta como una forma cerrada: $\frac{2^{-2 a} \Gamma \left(\frac{1}{2} (1-2 a)\right) \binom{a+n-1}{n} \Gamma (-a-n+1)}{\sqrt{\pi } \Gamma (-2 a-n+1)}$

Pero me gustaría tener un manual de solución de prueba.

Así es como conseguí que hipergeométrica de la serie:

$\sum _{i=0}^n \binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i}$

$\dfrac{t_{i+1}}{t_{i}} = \frac{\binom{a+i+1-1}{i+1} \binom{a-i+n-2}{-i+n-1}}{\binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i}} = \frac{(a+i) (n-i)}{(i+1) (a-i+n-1)} = \frac{(a+i) (i-n)}{ (i-a-n+1)(i+1)}$

$\sum _{i=0}^n \binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i} = _2F_1 \left[ \begin{array}{ll} a &-n \\ -a-n+1 & \end{array} ; 1\right]$

ACTUALIZACIÓN

Gracias a David H, me acerqué a la solución.

$\sum _{i=0}^n \binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i} = _2F_1 \left[ \begin{array}{ll} a &-n \\ -a-n+1 & \end{array} ; 1\right]$

$\lim\limits_{\epsilon \to0} \frac{\Gamma (-2 a-2 \epsilon +1) \Gamma (-a-n-\epsilon +1)}{\Gamma (-a-\epsilon +1) \Gamma (-2 a-n-2 \epsilon +1)} = \frac{4^{-a} \Gamma \left(\frac{1}{2}-a\right) \Gamma (-a-n+1)}{\sqrt{\pi } \Gamma (-2 a-n+1)}$

Como se puede ver este resultado es cercano a la espera $\frac{2^{-2 a} \Gamma \left(\frac{1}{2} (1-2 a)\right) \binom{a+n-1}{n} \Gamma (-a-n+1)}{\sqrt{\pi } \Gamma (-2 a-n+1)}$ fórmula. Pero el $\binom{a+n-1}{n}$ factor es que aún faltan y yo no entiendo realmente por qué.

Answer 1

El uso de esta identidad para expresar la función hipergeométrica como una función de Gegenbauer, y esta identidad que le da el valor de la Gegenbauer de la función evaluada en $1$, la función hipergeométrica en cuestión puede ser expresada como una proporción de gamma funciones cuyos argumentos son cada uno de los enteros positivos. Estos pueden ser reorganizados en los términos del binomio para un compacto de la expresión final:

$$\begin{align} {_2F_1}{\left(a,-n;1-a-n;1\right)} &=\frac{n!}{(a)_{n}}C_{n}^{a}{\left(1\right)}\\ &=\frac{\Gamma{\left(n+1\right)}\,\Gamma{\left(a\right)}}{\Gamma{\left(a+n\right)}}\cdot\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(2a\right)}\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\\ &=\frac{\Gamma{\left(a\right)}\,\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a+n\right)}\,\Gamma{\left(2a\right)}}\\ &=\frac{\binom{2a+n-1}{2a-1}}{\binom{a+n-1}{a-1}}.\\ \end{align}$$

Es probable que haya una manera mucho más directa a derivar esto sin que este absurdo desvío en exóticos funciones especiales, pero tal vez esta respuesta de aguantar hasta que alguien más informado en combinatoria. =)

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Editar:

Aquí está una mucho mejor manera de evaluar la suma utilizando la función beta de la maquinaria.

$$\begin{align} s{(a,n)} &=\sum_{k=0}^{n}\binom{a+k-1}{k}\binom{a+n-k-1}{n-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{\Gamma{\left(a+k\right)}}{\Gamma{\left(k+1\right)}\,\Gamma{\left(a\right)}}\cdot\frac{\Gamma{\left(a+n-k\right)}}{\Gamma{\left(n-k+1\right)}\,\Gamma{\left(a\right)}}\\ &=\frac{1}{\Gamma{\left(a\right)}^2}\sum_{k=0}^{n}\frac{\Gamma{\left(a+k\right)}}{\Gamma{\left(k+1\right)}}\cdot\frac{\Gamma{\left(a+n-k\right)}}{\Gamma{\left(n-k+1\right)}}\\ &=\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a\right)}^2\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\Gamma{\left(n+1\right)}}{\Gamma{\left(k+1\right)}\,\Gamma{\left(n-k+1\right)}}\cdot\frac{\Gamma{\left(a+k\right)}\,\Gamma{\left(a+n-k\right)}}{\Gamma{\left(2a+n\right)}}\\ &=\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a\right)}^2\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot\operatorname{B}{\left(a+k,a+n-k\right)}\\ &=\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a\right)}^2\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\int_{0}^{1}t^{a+k-1}(1-t)^{a+n-k-1}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a\right)}^2\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{a-1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}t^{k}(1-t)^{n-k}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a\right)}^2\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{a-1}\cdot1\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a\right)}^2\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\operatorname{B}{\left(a,a\right)}\\ &=\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(2a\right)}\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\\ &=\binom{2a+n-1}{2a-1}.~~\blacksquare\\ \end{align}$$

Answer 2

Podemos tratar de mantenerlo simple. Supongamos que buscamos evaluar$$\sum_{k=0}^n {a-1+k\choose k} {a-1+n-k\choose n-k}.$ $. Es inmediatamente evidente que se trata de una convolución de dos funciones generadoras ordinarias. Para ver qué son, vuelva a escribir la suma como$$\sum_{k=0}^n {a-1+k\choose a-1} {a-1+n-k\choose a-1}.$ $. En el binomio de Newton, esta es una convolución de$$\frac{1}{(1-z)^a}$ $ consigo misma, dando$$\frac{1}{(1-z)^{2a}}.$ $ Extrayendo coeficientes obtenemos$${n+2a-1\choose 2a-1} = {n+2a-1\choose n}.$ps

Answer 3

Aquí os pongo la solución completa

El problema: estamos buscando la forma cerrada de esta suma:

$\sum\limits_{i=0}^n \binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i}$

El primer término de la suma de $i=0$ $\binom{a+n-1}{n}$

La relación de dos términos consecutivos:

$\dfrac{t_{i+1}}{t_i} = \dfrac{P(i)}{Q(i)} = \dfrac{\binom{a+i}{i+1} \binom{a-i+n-2}{-i+n-1}}{\binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i}} = \dfrac{(a+i) (n-i)}{(i+1) (a-i+n-1)} = \dfrac{(i+a)(i-n)}{(i-a-n+1)(i+1)}$

Así que nuestro hipergeométrica de la serie puede ser descrito de la siguiente manera:

$\, _2F_1(a,-n;-a-n+1;1)$

El uso de este y este identidades:

$\begin{align} {_2F_1}{\left(a,-n;1-a-n;1\right)} &=\frac{n!}{(a)_{n}}C_{n}^{a}{\left(1\right)}\\ &=\frac{\Gamma{\left(n+1\right)}\,\Gamma{\left(a\right)}}{\Gamma{\left(a+n\right)}}\cdot\frac{\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(2a\right)}\,\Gamma{\left(n+1\right)}}\\ &=\frac{\Gamma{\left(a\right)}\,\Gamma{\left(2a+n\right)}}{\Gamma{\left(a+n\right)}\,\Gamma{\left(2a\right)}}\\ &=\frac{\binom{2a+n-1}{2a-1}}{\binom{a+n-1}{a-1}}.\\ \end{align}$

La solución final:

$\begin{align}\sum\limits_{i=0}^n \binom{a+i-1}{i} \binom{a-i+n-1}{n-i} &= \binom{a+n-1}{n} \cdot \, _2F_1(a,-n;-a-n+1;1)\\ &= \binom{a+n-1}{n} \cdot \dfrac{\binom{2a+n-1}{2a-1}}{\binom{a+n-1}{a-1}}\\ &=\binom{2a+n-1}{n}\end{align}$