Hola estoy tratando de encontrar una forma cerrada de expresión para $$ \int_0^{\pi/2} \frac{x^{2}}{1+\cos^2x}dx,\quad p\geq 0. $$ Estoy interesado en este caso general, en términos de p. Para la pequeña p, podemos utilizar variables complejas trivial, pero no estoy seguro de qué hacer para el caso general. Esta integral para $p=1,p=2$ tiene muy buenos resultados dada por $$ \int_0^{\pi/2} \frac{x}{1+\cos^2 x}dx=\frac{ \pi^2+4Li_2(3-2\sqrt{2})-4Li_2(-3+2\sqrt{2}) }{8\sqrt{2}}, $$ $$ \int_0^{\pi/2} \frac{x^2}{1+\cos^2 x}dx=\frac{\pi^3+12\pi Li_2(3-2\sqrt{2})}{24\sqrt{2}}. $$ Estas integrales son el estándar en la literatura rusa.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hice el caso de $p=1$ aquí. La generalización a mayor $p$ puede implicar derivadas de orden superior de la siguiente manera:
$$\begin{align}K_p &= \int_0^{\pi/2} dx \frac{x^{2 p}}{1+\cos^2{x}} = \frac1{2^{4 p-1}} \int_{-\pi}^{\pi} dy \frac{y^{2 p}}{3+\cos{y}} \end{align}$$
Para definir, como antes,
$$J(a) = \int_{-\pi}^{\pi} dy \frac{e^{i a y}}{3+\cos{y}} $$
Entonces
$$K_p = \frac{(-1)^p}{2^{4 p-1}} \left [\frac{d^{2 p}}{da^{2 p}} J(a) \right ]_{a=0}$$
En la referencia anterior, me derivar una expresión para $J(a)$:
$$J(a) = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \cos{\pi a} \: (3-2 \sqrt{2})^a - 4 \sin{\pi a}\: PV \int_0^1 dx \frac{x^a}{x^2-6 x+1}$$
donde $PV$ denota el valor principal de Cauchy. Por lo tanto, lo anterior se describe un procedimiento para expresar la integral de la $K_p$ en términos de potencias de $\log{(3-2 \sqrt{2})}$$\operatorname{Li}_{2 k}(3-2 \sqrt{2})$$k=1$$p$. Espero que pueda derivar una expresión general, pero por el momento, este esquema debería ser suficiente para cualquier entero positivo los valores de $p$.
ANEXO
He encontrado un formalismo en el que yo pueda derivar una más una expresión explícita para la $K_p$. Considere la siguiente función:
$$f(a) = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \cos{\pi a} \: (3-2 \sqrt{2})^a - 4 \sin{\pi a} \, x^a$$
Buscamos a tomar $p$ sucesivas segundo derivados de $f$ con respecto al $a$. Nota cómo tanto en términos de $f$ son una función trigonométrica veces un número $q$ elevado a la $a$th poder. Resulta que
$$\frac{d^2}{da^2} \left ( \begin{array} & \sin{\pi a} \, q^a \\ \cos{\pi a} \, q^a \end{array}\right ) = \left ( \begin{array} & \log^2{q}-\pi^2 & 2 \pi \log{q} \\ -2 \pi \log{q} & \log^2{q}-\pi^2 \end{array} \right ) \left ( \begin{array} & \sin{\pi a} \, q^a \\ \cos{\pi a} \, q^a \end{array}\right )$$
Podemos expresar esto en términos de una matriz de rotación:
$$\frac{d^2}{da^2} \left ( \begin{array} & \sin{\pi a} \, q^a \\ \cos{\pi a} \, q^a \end{array}\right ) = \left ( \log^2{q}+\pi^2\right )\left ( \begin{array} & \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right ) \left ( \begin{array} & \sin{\pi a} \, q^a \\ \cos{\pi a} \, q^a \end{array}\right )$$
donde$\cos{\theta} = (\log^2{q}-\pi^2)/(\log^2{q}+\pi^2)$$\sin{\theta} = 2 \pi \log{q}/(\log^2{q}+\pi^2)$. Entonces tenemos una expresión explícita para la $2 p$th derivado de los términos de $f$:
$$\begin{align}\left [\frac{d^{2 p}}{da^{2 p}} \left ( \begin{array} & \sin{\pi a} \, q^a \\ \cos{\pi a} \, q^a \end{array}\right )\right ]_{a=0} &= \left ( \log^2{q}+\pi^2\right )^p\left ( \begin{array} & \cos{p \theta} & \sin{p \theta} \\ -\sin{p \theta} & \cos{p \theta} \end{array} \right ) \left ( \begin{array} & 0 \\ 1 \end{array}\right )\\ &= \left ( \log^2{q}+\pi^2\right )^p \left ( \begin{array} & \sin{p \theta} \\ \cos{p \theta} \end{array}\right ) \end{align}$$
Los elementos anteriores son simplemente los polinomios de Chebyshev de la segunda y primera clase, respectivamente, en $\cos{\theta}$. Como ejemplo, vamos a hacer el primer par de valores de $p$:
$p=1$: $$\left [\frac{d^{2}}{da^{2}} f(a) \right ]_{a=0} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left (\log^2{(3-2 \sqrt{2})}-\pi^2 \right ) - 8 \pi \log{x}$$
lo cual está de acuerdo con el resultado en los enlaces de solución.
$p=2$: $$\left [\frac{d^{4}}{da^{4}} f(a) \right ]_{a=0} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left [ \left (\log^2{(3-2 \sqrt{2})}-\pi^2 \right )^2-4 \pi^2 \log^2{(3-2 \sqrt{2})}\right ] - 16 \pi \log{x} \left (\log^2{x}-\pi^2 \right )$$
$p=3$: $$\left [\frac{d^{6}}{da^{6}} f(a) \right ]_{a=0} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left [\left (\log^2{(3-2 \sqrt{2})}-\pi^2 \right )^3-12 \pi^2 \log^2{(3-2 \sqrt{2})} \left (\log^2{(3-2 \sqrt{2})}-\pi^2 \right ) \right ] \\ - 4 \left [6 \pi (\log^2{x}-\pi^2)^2 \log{x} - 8 \pi^3 \log^3{x} \right ]$$
y así sucesivamente. Una vez hecho esto, el $\log{x}$ términos que produce en la integral anterior, es decir, tenemos que calcular el
$$H_k = PV \int_0^1 dx \frac{\log^{2 k-1}{x}}{x^2-6 x+1} $$
para $k = 1,\ldots,p$. Cada una de las $H_k$ será expresable en términos de una$\operatorname{Li}_{2 k}(3-2 \sqrt{2})$, además de algunas otras condiciones. Si tengo más tiempo, voy a publicar una expresión explícita para $H_k$ y, finalmente, obtener una expresión explícita para la integral original. Pero por ahora, esto representa un gran progreso.
ANEXO II
OK, de hecho, es práctico y relativamente sencillo, aunque un lío enorme, para evaluar el $H_k$. La base de la evaluación radica en la expresión de $H_k$
$$H_k = \frac1{4 \sqrt{2}} \left [\int_0^1 dx \frac{\log^{2 k-1}{x}}{x-(3+2 \sqrt{2})} - PV \int_0^1 dx \frac{\log^{2 k-1}{x}}{x-(3-2 \sqrt{2})} \right ]$$
La primera integral es sencillo:
$$\int_0^1 dx \frac{\log^{2 k-1}{x}}{x-(3+2 \sqrt{2})} = (2k-1)! \operatorname{Li}_{2 k}(3-2 \sqrt{2})$$
La 2, sin embargo, es un poco difícil. Tenga en cuenta que el principal valor lleva en esta integral porque hay una bona fide de la singularidad, pero recordemos que el principal valor no sólo son para evitar esta singularidad. Era, más bien, una consecuencia de la forma en que tratamos a los polos de la rama de corte.
De todos modos, la segunda integral está dada por
$$PV \int_0^1 dx \frac{\log^{2 k-1}{x}}{x-(3-2 \sqrt{2})} = - i \pi \log^{2 k-1}(3-2 \sqrt{2}) + (2 k-1)! \operatorname{Li}_{2 k}(3 + 2 \sqrt{2})$$
Ahora, resulta que el que en realidad puede determinar un valor para el polylog de un número real positivo mayor que $1$ por un general de la inversión de la relación:
$$\operatorname{Li}_{2 k}(3 - 2 \sqrt{2}) + \operatorname{Li}_{2 k}(3 + 2 \sqrt{2}) = (-1)^{k+1} \frac{(2 \pi)^{2 k}}{(2 k)!} B_{2 k} \left (1-i\frac1{2 \pi} \log{(3+2 \sqrt{2})} \right ) $$
donde $B_{2 k}$ $(2 k)$th Bernoulli polinomio. La lleva a una formulación para evaluar cada una de las $H_k$. Tenga en cuenta que el imaginario piezas deben cancelar. Por ejemplo,
$$4 \sqrt{2} H_1 = 2 \operatorname{Li}_2(3-2 \sqrt{2}) - \frac{\pi^2}{3} + \frac12 \log^2{(3-2\sqrt{2})}$$
$$4 \sqrt{2} H_2 = 2 \operatorname{Li}_4(3-2 \sqrt{2}) - \frac{2 \pi^4}{15} - \pi^2 \log^2{(3-2\sqrt{2})} +\frac14 \log^4{(3-2 \sqrt{2})}$$
$$4 \sqrt{2} H_3 = 2 \operatorname{Li}_6(3-2 \sqrt{2}) - \frac{16 \pi^6}{63} - \frac{4 \pi^4}{3} \log^2{(3-2\sqrt{2})} - \frac{5 \pi^2}{3} \log^4{(3-2 \sqrt{2})}+\frac{1}{6} \log^6{(3-2 \sqrt{2})}$$
