Weierstrass Punto de una superficie de Riemann

Question

Tengo que $X$ es una superficie de Riemann compacta definido por la curva de $y^{2}=1-x^{6}$ y un punto de $P=(0,1) \in X$ en las coordenadas habituales $(x,y)$. Finalmente, quiero resolver un Mittag-Leffler problema en esta $X$, es decir, para la construcción de una particular función de meromorphic con lo prescrito partes principales. En primer lugar, quiero encontrar el menos positivo $n$ tal que $h^{0}(nP)>1$ (donde $h^{0}$ da la dimensión de la cero cohomology grupo). Luego, utilizando este valor de $n$, quiero encontrar a una explícita la función racional $f(x,y)$ tal que $f \in H^{0}(X, \mathcal{O}_{D})$ donde $D=nP$.

Creo que yo podría resolver este primer mostrando $P=(0,1)$ es una de Weierstrass punto en $X$. Es decir, $P$ es de Weierstrass si $h^{0}(gP)=1$ o en nuestro caso $h^{0}(2P)=1$. Equivalentemente, podemos aplicar de Riemann-Roch para la condición de $h^{0}(K-2P)=0$, es decir, no holomorphic 1-formulario se desvanece a fin de a $P$. Si $P$ es de Weierstrass, entonces podemos fácilmente obtener nuestro valor de $n$. Sin embargo, es $P$ Weierstrass? Estoy teniendo problemas para mostrar este es el caso. En realidad, estoy un poco insegura de lo que tienen para mostrar.

Luego, una vez que tenemos nuestra$n$, ¿cómo hacer realidad la construcción de nuestra deseada $f(x,y)$? Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

El siguiente es sólo para ampliar mi comentario, y darle una pista.

Su (de género $2$) de la curva de $X$ es hyperelliptic, por lo que la filtración $$\mathbb C^2=H^0(X,K_X)\supsetneq H^0(X,K_X-P)\supseteq H^0(X,K_X-2P)$$ gives you two possibilities: either $h^0(K_X-2P)$ is $1$, or it is $0$. In the first case, $P$ es un punto de Weierstrass. En otras palabras, $$P\textrm{ is Weierstrass }\iff h^0(K_X-2P)=1\iff h^0(2P)=2.$$ Weierstrass punto no significa lo que usted escribió. Más bien significa que existe un holomorphic diferencial de fuga $g$ veces en $P$, es decir,$h^0(K-gP)>0$, es decir, $h^0(gP)>1$ (en general).

Ahora, una base para $H^0(X,K_X)$ está dado por $$\omega_1=\frac{\textrm dx}{y},\omega_2=x\frac{\textrm dx}{y}.$$

Supongo que se puede demostrar fácilmente que el $\omega_2$ se desvanece al menos dos veces a $P$, por lo que el $P$ es un punto de Weierstrass.

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Puesto que usted se está preguntando por el menos $n$ tal que $h^0(nP)>1$, el siguiente podría ser relacionada (pero sólo sé que el resultado de género $g\geq 3$):

Teorema. Para cualquier punto de Weierstrass $P$ sobre un general de la curva de género $g\geq 3$, $$g=\min\,\{n\,|\,h^0(nP)>1\}.$$