Aproximación integral elíptica de segunda especie

Question

Mi (física) libro proporciona la siguiente aproximación:

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1-(1-a^2) \sin(k)^2} dk \approx 2 + (a_1 - b_1 \ln a^2) a^2 + O(a^2 \ln a^2)$

donde a1 y b1 son "(no especificado) constantes numéricas." He estado buscando, ya sea una derivación de este, o la misma aproximación mencionados en otros lugares y han conseguido nada. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Esto es sólo un esbozo de respuesta.

Llame a la integral se calcula $I(a)$. Escribir primero $$I(a) = 2\int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos^2 k + a^2 \sin^2 k} \, dk$$ por la simetría. La dificultad aquí es que usted no sólo puede aplicar la fórmula de Taylor para $a \to 0$, debido a que los valores de $k$ cerca de $\pi/2$ hacer una contribución significativa a la integral y $\cos k$ es pequeño allí.

Hacer la sustitución $u = \cot k$. Entonces $$I(a) = 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{u^2 + a^2}}{(u^2 + 1)^{3/2}} \, du.$$

Ahora dividir la integral en tres partes en los intervalos $[0,a]$, $[a,1]$ y $[1,+\infty)$. Entonces hacer la sustitución $v = u/a$ en el primer intervalo, $s = u^2$ en el segundo, y $w = 1/u$ en el tercero. Tenemos $$I(a) = 2a^2 \int_0^1 \sqrt{1+v^2} (1 + a^2 v^2)^{-3/2} \, dv + 2\int_0^1 (1 + w^2)^{-3/2} \sqrt{1 + a^2 w^2} \, dw \\+ \int_{a^2}^1 \frac{1}{(1+s)^{3/2}} \sqrt{1 + \frac{a^2}{s}} \, ds$$ Ahora la idea es ampliar cada integrando en una serie usando la serie de Taylor para $(1 + x)^{1/2}$$(1+x)^{-3/2}$, y, a continuación, integrar término a término. Este será legítimo porque de convergencia uniforme. En la primera integral, expanda el segundo factor como una función de la $av$. Hacer lo mismo en la segunda integral con respecto a $aw$. La tercera es la más complicada porque $a^2$ aparece como un límite, pero se puede expandir el integrando en una doble serie con respecto a $s$$a^2/s$. El resultado de la serie es bastante complicado.

Sin embargo, si sólo queremos una estimación en el nivel de $O(a^2)$, podemos observar que la raíz cuadrada en la última integral es $1 + a^2/2s$ a en $O(a^4/s^2)$, por lo que el error en la integral será en la mayoría de las $O(a^2)$. Si hacemos esta aproximación, nos encontramos con $$I(a) = 2 - a^2 \ln a + O(a^2)$$

Para evaluar el $a^2$ plazo es más difícil. La contribución de la primera integral es $\sqrt{2} + \operatorname{arsinh}(1)$. La contribución de la segunda es $\operatorname{arsinh}(1) - \frac{1}{2}\sqrt{2}$. El $a^2$ plazo en la tercera integral se compone de una $-a^2$ desde el primer término de la serie, un plazo $a^2[-\operatorname{arsinh}(1)+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \ln 2 - 1]$ en el segundo término de la serie, y el resto de los términos con coeficiente de $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n-1}\binom{1/2}{n}$. Esta última serie es $f(1)$ donde $f(x) = \sum_{n \geq 2} \frac{1}{n-1}\binom{1/2}{n}x^{n-1}$. Tenemos $f(0) = 0$$f'(x) = \sum_{n \geq 2} \binom{1/2}{n}x^{n-2} = \frac{1}{x^2} (\sqrt{1 + x} - 1 - x/2)$, por lo que $$f(1) = \int_0^1 \frac{1}{x^2} (\sqrt{1 + x} - 1 - x/2) \, dx = \frac{3}{2} - \sqrt{2} + \ln 2 - \operatorname{arsinh}(1).$$ Tomando todo en cuenta, obtenemos $$I(a) = 2 - a^2\ln a + a^2 (2\ln 2 - 1/2) + O(a^4 \ln a).$$

Dado lo simple, el resultado es, apuesto a que hay una manera más sencilla de encontrar.

EDIT: Para $a=0.0001$, el verdadero valor de la integral es $2.000,000,100,966,347,688$. La aproximación obtenida mediante la fórmula es $2.000,000,100,966,347,331$.

Answer 2

No estoy seguro de que realmente responder a la pregunta aquí; así que, por favor, perdóname si estoy fuera de tema.

En el lado izquierdo, tenemos $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1-(1-a^2) \sin(k)^2} dk =2 E\left(1-a^2\right)$$ provided that $un\in \mathbb{R}\lor \Re(a)\neq 0$.

En el lado izquierdo, parece que el lado derecho es aproximada por $$2+\left(\alpha -\beta \log \left(a^2\right)\right)a^2 $$

y los parámetros desconocidos $\alpha,\beta$ efectivamente puede ser ajustado mediante regresión lineal. La generación de $100$ equidistantes de puntos de datos para $0 \lt a \leq 1$, de hecho se encontró que el ajuste es muy buena ($R^2=0.999998$) para $\alpha=1.13398$, $\beta=0.398159$.