Una pregunta sobre espacio metrizable

Question

Este ejercicio es de "Topología General" por Engelking:

Dar un ejemplo de un espacio metrizable que no puede ser embebido en una localmente compacto metrizable espacio.

Yo no se cómo empezar. El contraejemplo no puede ser $\mathbb R$ ya que es localmente compacto. También puede ser un espacio discreto, ya que es localmente compacto.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Tomar cualquier espacio métrico $X$ que tiene un punto de $p$ de tal manera que ningún barrio de $p$ ha contables de peso. E. g. el erizo espacio con $\aleph_1$ muchos picos de hacer (como el open de bola de los barrios de el "punto de fusión" son todos homeomórficos a todo el espacio).

Si pudiéramos ver las $X$ como un subespacio de $Y$ que es localmente compacto, entonces $p$ tiene un pacto de vecindad $C$$Y$, que debe ser el segundo contables (como metrisable espacio compacto) y debe contener un barrio de $p$ $X$ como subespacio, que daría $p$ un segundo contables barrio.

Así que cada subespacio de un localmente compacto metrisable espacio es localmente segundo contables, es lo que realmente uso. Tan sólo necesitamos un metrisable espacio que no tienen esta propiedad.