Reinterpretación de una regresión de Poisson

Question

La forma en que entiendo una regresión de Poisson es que modelamos $y|x \sim \text{Poisson}(\exp(x'\theta))$ para que $E[y|x]=\exp(x'\theta)$ (por ejemplo http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_regression ).

Mi pregunta es si podemos reformular el modelo para que relacionemos $y$ a $x$ y las inobservables (o variables latentes) $\varepsilon$ y luego hacer suposiciones sobre $\varepsilon$ .

Como motivación, consideremos una regresión lineal; podemos modelar el problema como $E[y|x]=x'\beta$ o como $y=x'\beta+\varepsilon$ y $E[\varepsilon|x]=0$ .

Answer 1

Aunque se podría escribir como un modelo con un error aditivo, el problema es que con la regresión de Poisson los términos de error tienen distribuciones de Poisson desplazadas, cada una diferente -- tienen varianzas y asimetrías diferentes.

Así, a diferencia de la regresión lineal, en la que los errores tienen una distribución común, en la regresión de Poisson no la tienen. Esto hace que una formulación de error aditivo sea improductiva para la mayoría de los propósitos. (También hay otros problemas).

La razón por la que mucha gente escribe su regresión de Poisson en formas como $\underline{y}|X\sim\text{Pois}(e^{X\beta})$ es porque en realidad es una mejor manera de tratarla.