$M/\mathfrak{m}M\simeq A/\mathfrak{m}$, para cualquier % ideal maximal $\mathfrak{m}\subset A$

Question

Permita que$M$ sea un$A$ - módulo. ¿Es verdad que si$M/\mathfrak{m}M\simeq A/\mathfrak{m}$, para cualquier ideal máximo$\mathfrak{m}\subset A$, entonces$ M\simeq A$?

Answer 1

Que $A$ ser un dominio de Dedekind, de número de la clase mayor que $1$, y que $I$ un ideal no principales de $A$. Entonces $I / \mathfrak {m} I\cong A/\mathfrak{m}$ for all $\mathfrak m$ but $A\not\cong I $ as $A$-módulos.