Significado de la forma simpléctica en la teoría de campos clásica

Question

Estoy tratando de entender la importancia de la construcción presentada en la clase de teoría de campo. Permíteme primero describirla brevemente y luego hacer algunas preguntas.

Dadas dos soluciones $\phi_1$, $\phi_2$ de la ecuación de onda escalar $( \Box + m^2 ) \phi_i =0, $ $i=1,2$, se puede definir una corriente conservada, dada por

$$ j[\phi_1, \phi_2] = \phi_1 \nabla \phi _2 - \phi_2 \nabla \phi_1, \tag{1} $$ $$ \nabla \cdot j =0 . \tag{2} $$

Esto permite construir una forma simpléctica en el espacio de soluciones. Se elige una superficie de Cauchy $\Sigma$ con un vector normal unitario dirigido hacia el futuro $N$ y se define

$$ \{ \phi_1 , \phi_2 \} = \int _{\Sigma} N \cdot j[\phi_1, \phi_2] d^3 x. \tag{3} $$

Además, se puede demostrar que para cualquier solución $\phi$ se puede elegir una función $\rho$ de tal manera que se cumpla la siguiente representación:

$$ \hat{\phi}(k) = (2 \pi)^{3/2} \hat{D}(k) \hat{\rho}(k), \tag{4} $$

donde el sombrero denota la transformada de Fourier y $D$ es la distribución de Pauli-Jordan, que satisface

$$ \hat D (k) = \frac{i}{2 \pi} \mathrm{sgn} (k) \delta (k^2 -m^2).\tag{5} $$

Además, esta representación es única salvo por la adición de una función con la transformada de Fourier que se anula en la superficie de la masa, o dicho de otra manera

$$ \phi _{\rho_1}=\phi_{\rho_2} \iff \exists \chi : \rho_1-\rho_2=(\Box + m^2) \chi. \tag{6}$$

Luego se construye un espacio cociente, dividiendo el espacio de todas las $\rho$ por el espacio de todas las $(\Box +m^2) \chi$. En este espacio, la forma simpléctica $ \sigma (\rho_1, \rho_2)=\{ \phi_{\rho_1}, \phi_{\rho_2} \} $ está bien definida y no degenerada. También se puede reescribir como

$$ \sigma (\rho_1, \rho_2) = \int \rho_1(x) D(x-y) \rho_2(y) d^4 x d^4 y.\tag{7} $$

Primera pregunta: ¿están estas formas simplécticas ($\sigma(\cdot, \cdot)$ y $\{ \cdot, \cdot \}$) de alguna manera relacionadas con el corchete de Poisson en el espacio de fases en la mecánica hamiltoniana? Esperaría que algo así fuera cierto, pero para eso se necesitaría interpretar de alguna manera $\rho$ como una función en algún espacio de fases de dimensión infinita. Me pregunto si esto se puede hacer. Y segunda pregunta, pero estrechamente relacionada: ¿cuál es la interpretación de estas funciones $\rho$? Nuestro profesor nos dijo que deberían considerarse como grados de libertad del campo pero, nuevamente, no lo veo muy claro. Alguna intuición aquí sería agradable.

Answer 1

1. La primera parte de la construcción de OP está directamente relacionada con el formalismo Hamiltoniano covariante para un campo escalar real con densidad Lagrangiana $$ {\cal L} ~=~ \frac{1}{2}\partial_{\alpha} \phi ~\partial^{\alpha} \phi -{\cal V}(\phi), \tag{CW4} $$ ver por ejemplo Ref. [CW] y este post de Phys.SE. Ver también el método Wronskiano en el post de Phys.SE este. [En esta respuesta utilizamos la convención de la firma de Minkowski $(+,-,-,-)$ y establecemos la constante de Planck $\hbar=1$ como uno.] Las ecuaciones de OP (1)-(3) corresponden en Ref. [CW] a la corriente de forma simpléctica de la 2-forma $$ J^{\alpha}(x) ~=~ \delta \phi_{\rm cl}(x) \wedge \partial^{\alpha} \delta\phi_{\rm cl} (x); \tag{CW14} $$ que es conservada $$ \partial_{\alpha} J^{\alpha}(x)~\approx~0 ;\tag{CW15} $$ y la 2-forma simpléctica $$ \omega ~=~\int_{\Sigma} \!\mathrm{d}\Sigma_{\alpha} ~J^{\alpha} \tag{CW16}$$ en el espacio de soluciones clásicas, respectivamente. (Nota que Ref. [CW] denota la derivada exterior de infinitas dimensiones con un $\delta$ en lugar de un $\mathrm{d}$.) Si escogemos la superficie de tiempo inicial estándar $\Sigma=\{x^0=0\}$, regresamos a la forma simpléctica estándar $$ \omega ~=~\int_{\Sigma} \delta \phi_{\rm cl} \wedge \delta \dot{\phi}_{\rm cl}. \tag{CW17}$$

2. En la segunda parte de la construcción de OP, nos especializamos en un potencial cuadrático $$ {\cal V}(\phi) ~=~\frac{1}{2}m^2\phi^2, \tag{A}$$ es decir, un campo libre.

La última ecuación de OP (7) corresponde al conmutador estándar no igual en tiempo $$[\phi(x),\phi (y)]~=~ i\Delta(x\!-\!y) , \tag{IZ3-55} $$ donde $$\begin{align} \Delta&(x\!-\!y) \cr &= \frac{1}{i} \int \! \frac{d^4k}{(2\pi)^3} \delta(k^2\!-\!m^2) ~{\rm sgn}(k^0)~ e^{-ik\cdot (x-y)},\end{align} \tag{IZ3-56}$$ ver por ejemplo Ref. [IZ]. Para comparar con la ecuación de OP (7), difuminamos el conmutador (IZ3-55) con dos funciones de prueba $\rho_1$ y $\rho_2$. Diferenciando respecto al tiempo $y^0$ obtenemos $$\begin{align} [\phi(x),\pi (y)] ~=~&[\phi(x),\dot{\phi} (y)]\cr ~=~& i\cos(\omega_{\bf k} (x^0\!-\!y^0))~ \delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \omega_{\bf k}~:=~&\sqrt{{\bf k}^2+m^2}.\end{align} \tag{B} $$ Las ecuaciones (IZ3-55), (IZ3-56) y (B) implican el conmutador de tiempo igual estándar CCR, $$\begin{align} [\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})] ~=~&0, \cr [\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})] ~=~&i\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr [\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})]~=~&0 . \end{align} \tag{IZ3-3} $$ El CCR (IZ3-3) a su vez está relacionado con el corchete de Poisson canónico estándar $$\begin{align} \{\phi(t, {\bf x}),\phi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0, \cr \{\phi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB}~=~&\delta^3({\bf x}\!-\!{\bf y}), \cr \{\pi(t, {\bf x}),\pi (t, {\bf y})\}_{PB} ~=~&0 \end{align} \tag{C} $$ a través del principio de correspondencia entre mecánica cuántica y mecánica clásica, ver por ejemplo este post de Phys.SE.

Referencias:

• [CW] C. Crnkovic & E. Witten, Covariant description of canonical formalism in geometrical theories. Publicado en Three hundred years of gravitation (Eds. S. W. Hawking and W. Israel), (1987) 676.

• [IZ] C. Itzykson & J.B. Zuber, QFT, 1985, p.117-118.