¿Por qué se escala el dominio de la función de error por$\sqrt{2}$

Question

La función de distribución normal$\Phi(z)$ tiene la definición$\Phi(z) \equiv \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^z e^{\frac{-x^2}{2}} \, dx$.

Sin embargo, la función de error se define convencionalmente de manera que$\frac{1}{2}\operatorname{erf}(\frac{z}{\sqrt{2}})\equiv\Phi(z)$.

Entiendo la escala$\frac{1}{2}$ en la función de error en sí, ya que la integral$\Phi$ es simétrica alrededor de$0$. Pero, ¿por qué escalar$z$ en$\operatorname{erf}(z)$?

Answer 1

La función de error está definida por \begin{equation} \operatorname{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2}\ dt\tag1 \end {equation} y \begin{equation} \Phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^z e^{-x^2/2}\ dx\tag2 \end {equation} Ahora, ajustando$x=t\sqrt{2}$ a la ecuación$(2)$, luego el dominio$0<x<z$ cambia a$0<t<\frac{z}{\sqrt{2}}$ \begin{align} \Phi (z)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{{z}/{\sqrt{2}}} e^{-t^2}\cdot\sqrt{2}\ dt\\[10pt] &=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{{z}/{\sqrt{2}}} e^{-t^2}\ dt\\[10pt] &=\frac{1}{2}\operatorname{erf}\left(\!\frac{z}{\sqrt{2}}\!\right) \end {align}