Calcular $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+e)(\ln^{2}x + 4\pi^{2})} \, dx$$
Mediante la sustitución de $u = \sqrt{x}$ vemos que \begin{align*} \int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+e)(\ln^{2}x + 4\pi^{2})} \, dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{u}{(u^{2}+e)(\ln^{2}u + \pi^{2})} \, du \end{align*} Ahora vamos a $f(z) = \frac{z}{(z^{2}+e)\ln z}$ con la rama de corte a lo largo de la real positiva del eje y $-\pi \leq \arg z < \pi$. Deje $\gamma$ ser el siguiente perfil:
Va por los residuos, tenemos que $$\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \left(\frac{2}{1+\pi^{2}} + \frac{1}{1+e}\right)$$ Los mismos trucos que siempre muestra que las contribuciones de $\gamma_{R}$ $\gamma_{r}$ desaparecerá como $R$ va al infinito y $r$ va a 0. Ahora \begin{align*} &\oint_{\gamma} f(z) \, dz = \oint_{\gamma_{\varepsilon}} f(z) \, dz + \oint_{\gamma_{-\varepsilon}} f(z) \, dz \\ =& \int_{0}^{\infty} \frac{u+i\varepsilon}{((u+i\varepsilon)^{2}+e)(\ln (u+i\varepsilon)}\, du - \int_{0}^{\infty} \frac{u-i\varepsilon}{((u-i\varepsilon)^{2}+e)(\ln (u-i\varepsilon))}\, du \end{align*} Tomando $\varepsilon$ $0$$$= 2\pi i \int_{0}^{\infty}\frac{u}{(u^{2}+e)(\ln^{2} u + \pi^{2})} \, du $$ Poniendo todo junto, finalmente vemos que $$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+e)(\ln^{2}x + 4\pi^{2})} \, dx = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{1+\pi^{2}} + \frac{1}{1+e}\right) $$ El profesor dijo que todo es bueno, salvo que me ponga a $\arg z \in [-\pi, \pi)$. Yo estoy tomando el eje real positivo para el ángulo de $-\pi$ y va todo el camino alrededor viene a $\pi$. Este problema se corrigió por tomar $0 \leq \arg z < 2\pi$ y el cambio de $\ln z$ $(\ln z - \pi i)$en el denominador. Este ejemplo hace algo raro y creo que similar a lo que hice. Puede alguien explicar por qué lo hice no estaba bien? Yo realmente no lo entiendo.
Respuesta
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Realmente debería usar un contorno sobre el negativo del eje real. De esa manera, cuando se considere
$$\oint_C dz \frac{z}{(z^2+e) \log{z}} $$
donde $C$ es el ojo de la cerradura de contorno sobre el eje real negativo, tenemos que es igual a
$$e^{i \pi} \int_{\infty}^0 dx \frac{-x}{(x^2+e) (\log{x}+i \pi)} + e^{-i \pi} \int_0^{\infty} dx \frac{-x}{(x^2+e) (\log{x}-i \pi)}$$
Nota, aquí $\arg{z} \in [-\pi,\pi)$. He asignado a la fase a se $+\pi$ por encima de la real negativo del eje y $-\pi$ por debajo. La combinación de estas integrales le ofrece la integral que busca.
Se puede aplicar el teorema de los residuos desde los polos $z=\pm i \sqrt{e}$ $z=1$ se encuentran dentro de $C$. (Usted hubiera tenido una complicación con su contorno original.)
Tengo que
$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x+e)(\log^2{x}+4 \pi^2)} = \frac12 \frac1{1+e} + \frac1{1+\pi^2} $$
