Es suficiente para demostrar que si (xn)(xn) es una secuencia en ℓ1ℓ1 que converge débilmente a 0, entonces ‖xn‖→0∥xn∥→0 . Supongamos que (xn)(xn) es débilmente convergente a 00 pero ‖xn‖∥xn∥ no converge a 0. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que hay un número positivo αα de tal manera que ‖xn‖>α∥xn∥>α para todos nn .
Esencialmente, encontraremos una subsecuente de (xn)(xn) de tal manera que para i≠ji≠j las coordenadas de xixi que le dan la mayor parte de su masa están desunidas de las coordenadas de xjxj que le dan la mayor parte de su masa. Tal secuencia no puede ser débilmente nula (y de hecho, al normalizarse, sería equivalente a la base del vector unitario (Schauder) de ℓ1ℓ1 ). Esto sería, por supuesto, una contradicción.
Elija ϵϵ de tal manera que α/2−2ϵ>0α/2−2ϵ>0 .
Usaremos la notación xn|j∈Axn∣∣j∈A para denotar el vector xnxn restringido al conjunto AA .
Set y1=x1y1=x1 . Elija un número entero m1m1 para que ‖y1|j≤m1‖≥α/2∥y1∣∣j≤m1∥≥α/2 y ‖y1|j>m1‖<ϵ∥y1∣∣j>m1∥<ϵ .
Desde (xn)(xn) converge débilmente en 00 se deduce que (xn)(xn) converge coordinadamente en 00 . Es decir, para cada uno jj tenemos limn→∞xn(j)=0limn→∞xn(j)=0 . Usando esto, podemos encontrar un entero positivo n1>m1n1>m1 de tal manera que para cualquier n≥n1n≥n1 Tenemos ‖xn|j≤m1‖<ϵ∥xn∣∣j≤m1∥<ϵ .
Set y2=xn1y2=xn1 . Elija un número entero m2>m1m2>m1 para que ‖y2|m1<j≤m2‖≥α/2∥y2∣∣m1<j≤m2∥≥α/2 y ‖y2|j>m2‖<ϵ∥y2∣∣j>m2∥<ϵ .
A continuación, elija n2>n1n2>n1 para que para todos n≥n2n≥n2 Tenemos ‖xn|j≤m2‖<ϵ∥xn∣∣j≤m2∥<ϵ .
Set y3=xn2y3=xn2 . Elija un número entero m3>m2m3>m2 para que ‖y3|m2<j≤m3‖≥α/2∥y3∣∣m2<j≤m3∥≥α/2 y ‖y3|j>m3‖<ϵ∥y3∣∣j>m3∥<ϵ .
Continuando de esta manera, obtenemos una subsecuente (yn)(yn) de (xn)(xn) que no es débilmente nula.
De hecho, definir una secuencia de signos zz de modo que para mi−1<j≤mimi−1<j≤mi la coordenada z(j)z(j) está de acuerdo con el signo de yi(j)yi(j) . Luego z∈ℓ∞z∈ℓ∞ y, para cada uno ii Tenemos |z(yi)|≥α/2−2ϵ|z(yi)|≥α/2−2ϵ .