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caracterización de la débil convergencia secuencial en l1l1 espacio con el método de joroba deslizante

Mostrar que la débil convergencia secuencial en l1l1 implica convergencia e inversión de normas, pero la topología de normas en l1l1 no es equivalente a σ(l1,l)σ(l1,l)

Pista: Usar el método de "joroba deslizante"

Cualquier respuesta será apreciada (incluso si no se utiliza el método de joroba deslizante), gracias de antemano.

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Joe Lencioni Puntos 4642

Es suficiente para demostrar que si (xn)(xn) es una secuencia en 11 que converge débilmente a 0, entonces xn0xn0 . Supongamos que (xn)(xn) es débilmente convergente a 00 pero xnxn no converge a 0. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que hay un número positivo αα de tal manera que xn>αxn>α para todos nn .

Esencialmente, encontraremos una subsecuente de (xn)(xn) de tal manera que para ijij las coordenadas de xixi que le dan la mayor parte de su masa están desunidas de las coordenadas de xjxj que le dan la mayor parte de su masa. Tal secuencia no puede ser débilmente nula (y de hecho, al normalizarse, sería equivalente a la base del vector unitario (Schauder) de 11 ). Esto sería, por supuesto, una contradicción.

Elija ϵϵ de tal manera que α/22ϵ>0α/22ϵ>0 .

Usaremos la notación xn|jAxnjA para denotar el vector xnxn restringido al conjunto AA .

Set y1=x1y1=x1 . Elija un número entero m1m1 para que y1|jm1α/2y1jm1α/2 y y1|j>m1<ϵy1j>m1<ϵ .

Desde (xn)(xn) converge débilmente en 00 se deduce que (xn)(xn) converge coordinadamente en 00 . Es decir, para cada uno jj tenemos limnxn(j)=0limnxn(j)=0 . Usando esto, podemos encontrar un entero positivo n1>m1n1>m1 de tal manera que para cualquier nn1nn1 Tenemos xn|jm1<ϵxnjm1<ϵ .

Set y2=xn1y2=xn1 . Elija un número entero m2>m1m2>m1 para que y2|m1<jm2α/2y2m1<jm2α/2 y y2|j>m2<ϵy2j>m2<ϵ .

A continuación, elija n2>n1n2>n1 para que para todos nn2nn2 Tenemos xn|jm2<ϵxnjm2<ϵ .

Set y3=xn2y3=xn2 . Elija un número entero m3>m2m3>m2 para que y3|m2<jm3α/2y3m2<jm3α/2 y y3|j>m3<ϵy3j>m3<ϵ .

Continuando de esta manera, obtenemos una subsecuente (yn)(yn) de (xn)(xn) que no es débilmente nula.

De hecho, definir una secuencia de signos zz de modo que para mi1<jmimi1<jmi la coordenada z(j)z(j) está de acuerdo con el signo de yi(j)yi(j) . Luego zz y, para cada uno ii Tenemos |z(yi)|α/22ϵ|z(yi)|α/22ϵ .

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