Es suficiente para demostrar que si (xn) es una secuencia en ℓ1 que converge débilmente a 0, entonces ‖ . Supongamos que (x_n) es débilmente convergente a 0 pero \Vert x_n\Vert no converge a 0. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que hay un número positivo \alpha de tal manera que \Vert x_n\Vert>\alpha para todos n .
Esencialmente, encontraremos una subsecuente de (x_n) de tal manera que para i\ne j las coordenadas de x_i que le dan la mayor parte de su masa están desunidas de las coordenadas de x_j que le dan la mayor parte de su masa. Tal secuencia no puede ser débilmente nula (y de hecho, al normalizarse, sería equivalente a la base del vector unitario (Schauder) de \ell_1 ). Esto sería, por supuesto, una contradicción.
Elija \epsilon de tal manera que \alpha/2-2\epsilon>0 .
Usaremos la notación x_n\bigl|_{j\in A} para denotar el vector x_n restringido al conjunto A .
Set y_1=x_1 . Elija un número entero m_1 para que \Vert y_1\bigl|_{ j\le m_1 }\Vert\ge \alpha/2 y \Vert y_1\bigl|_{ j> m_1 }\Vert<\epsilon .
Desde (x_n) converge débilmente en 0 se deduce que (x_n) converge coordinadamente en 0 . Es decir, para cada uno j tenemos \lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n(j)=0 . Usando esto, podemos encontrar un entero positivo n_1>m_1 de tal manera que para cualquier n\ge n_1 Tenemos \Vert x_n\bigl|_{j\le m_1}\Vert<\epsilon .
Set y_2=x_{n_1} . Elija un número entero m_2>m_1 para que \Vert y_2\bigl|_{m_1< j\le m_2 }\Vert\ge \alpha/2 y \Vert y_2\bigl|_{ j> m_2 }\Vert<\epsilon .
A continuación, elija n_2>n_1 para que para todos n\ge n_2 Tenemos \Vert x_n\bigl|_{j\le m_2}\Vert< \epsilon .
Set y_3=x_{n_2} . Elija un número entero m_3>m_2 para que \Vert y_3\bigl|_{m_2< j\le m_3 }\Vert\ge \alpha/2 y \Vert y_3\bigl|_{ j> m_3 }\Vert<\epsilon .
Continuando de esta manera, obtenemos una subsecuente (y_n) de (x_n) que no es débilmente nula.
De hecho, definir una secuencia de signos z de modo que para m_{i-1}< j\le m_i la coordenada z(j) está de acuerdo con el signo de y_i(j) . Luego z\in\ell_\infty y, para cada uno i Tenemos |z(y_i) | \ge \alpha/2-2\epsilon .