caracterización de la débil convergencia secuencial en $l_1$ espacio con el método de joroba deslizante

Question

Mostrar que la débil convergencia secuencial en $l_1$ implica convergencia e inversión de normas, pero la topología de normas en $l_1$ no es equivalente a $\sigma(l_1,l_\infty)$

Pista: Usar el método de "joroba deslizante"

Cualquier respuesta será apreciada (incluso si no se utiliza el método de joroba deslizante), gracias de antemano.

Answer 1

Es suficiente para demostrar que si $(x_n)$ es una secuencia en $\ell_1$ que converge débilmente a 0, entonces $\Vert x_n\Vert\rightarrow 0$ . Supongamos que $(x_n)$ es débilmente convergente a $0$ pero $\Vert x_n\Vert $ no converge a 0. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que hay un número positivo $\alpha$ de tal manera que $\Vert x_n\Vert>\alpha$ para todos $n$ .

Esencialmente, encontraremos una subsecuente de $(x_n)$ de tal manera que para $i\ne j$ las coordenadas de $x_i$ que le dan la mayor parte de su masa están desunidas de las coordenadas de $x_j$ que le dan la mayor parte de su masa. Tal secuencia no puede ser débilmente nula (y de hecho, al normalizarse, sería equivalente a la base del vector unitario (Schauder) de $\ell_1$ ). Esto sería, por supuesto, una contradicción.

Elija $\epsilon$ de tal manera que $\alpha/2-2\epsilon>0$ .

Usaremos la notación $x_n\bigl|_{j\in A}$ para denotar el vector $x_n$ restringido al conjunto $A$ .

Set $y_1=x_1$ . Elija un número entero $m_1$ para que $\Vert y_1\bigl|_{ j\le m_1 }\Vert\ge \alpha/2 $ y $\Vert y_1\bigl|_{ j> m_1 }\Vert<\epsilon$ .

Desde $(x_n)$ converge débilmente en $0$ se deduce que $(x_n)$ converge coordinadamente en $0$ . Es decir, para cada uno $j$ tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n(j)=0$ . Usando esto, podemos encontrar un entero positivo $n_1>m_1$ de tal manera que para cualquier $n\ge n_1$ Tenemos $\Vert x_n\bigl|_{j\le m_1}\Vert<\epsilon$ .

Set $y_2=x_{n_1}$ . Elija un número entero $m_2>m_1$ para que $\Vert y_2\bigl|_{m_1< j\le m_2 }\Vert\ge \alpha/2 $ y $\Vert y_2\bigl|_{ j> m_2 }\Vert<\epsilon$ .

A continuación, elija $n_2>n_1$ para que para todos $n\ge n_2$ Tenemos $\Vert x_n\bigl|_{j\le m_2}\Vert< \epsilon$ .

Set $y_3=x_{n_2}$ . Elija un número entero $m_3>m_2$ para que $\Vert y_3\bigl|_{m_2< j\le m_3 }\Vert\ge \alpha/2 $ y $\Vert y_3\bigl|_{ j> m_3 }\Vert<\epsilon$ .

Continuando de esta manera, obtenemos una subsecuente $(y_n)$ de $(x_n)$ que no es débilmente nula.

De hecho, definir una secuencia de signos $z$ de modo que para $m_{i-1}< j\le m_i$ la coordenada $z(j)$ está de acuerdo con el signo de $y_i(j)$ . Luego $z\in\ell_\infty$ y, para cada uno $i$ Tenemos $|z(y_i) | \ge \alpha/2-2\epsilon$ .