¿Qué hay de malo en esta prueba del infinito?

Question

Mientras aprendía sobre infinitos, intenté construir una prueba por contradicción de que el continuo de números reales ( $\aleph_1$ ) no puede ser representado por el conjunto de enteros positivos ( $\aleph_0$ ). Es como sigue (simplificado):

Dejemos que $x$ sea un número real donde $0 \leq x < 1$ . Interpretar $x$ como una cadena en base-2 de la forma $0.d_1d_2d_3d_4\dots$ . Que haya un $\aleph_0$ -cubo de dimensiones. Cada valor de $x$ puede representarse como la coordenada $(d_1, d_2, d_3, d_4 \dots)$ que es un vértice del cubo, por lo que existe un mapeo de cada número real sobre un $\aleph_0$ -cubo de dimensiones. Un $n$ -El cubo de dimensiones tiene $2^n$ vértices, por lo que un $\aleph_0$ -El cubo de dimensiones tiene $2^{\aleph_0}$ vértices, por lo tanto $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ .

Si las coordenadas del punto $x$ se tratan como una cadena de bits big-endian que representa un número (es decir $d_1$ es el $2^0$ dígito, $d_2$ es el $2^1$ dígito, etc.) entonces $x$ se puede asignar a un número entero. Este entero puede tener un número infinito de dígitos. Hay $\aleph_0$ enteros.

Si existe un mapeo entre los reales y los enteros, entonces $\aleph_0 = 2^{\aleph_0} = \aleph_1$ . Esto es obviamente falso, y es lo que estaba tratando de refutar. ¿Qué parte(s) de mi prueba está(n) equivocada(s)?

Answer 1

"Este entero puede tener un número infinito de dígitos".

No, no puede.

No existe un número entero con un número infinito de enteros (no nulos).

Esta construcción no es un número entero y no tiene un valor finito.

Más detalladamente, esta construcción será una suma infinita (todos los sumandos no negativos) con un número infinito de términos mayores o iguales a $1$ (o, en realidad, mayor o igual que cualquier potencia positiva de 2). Tal suma es divergente, infinita, y ciertamente no un número entero.

Answer 2

Tu error es que un vector es "una cadena completa". Pero en realidad una combinación lineal es por definición finito . Así que si $x$ es un elemento de un $\aleph_0$ -espacio dimensional, entonces $x$ sólo tiene un número finito de coordenadas distintas de cero.

Esto significa que el cubo de un $\aleph_0$ -El espacio de las dimensiones tiene $\aleph_0$ vértices.

Por otro lado, está pensando en el espacio de infinito cuerdas, cuya dimensión es efectivamente $2^{\aleph_0}$ .

(También, $\aleph_1$ es el primer cardinal incontable, que puede ser o no igual a $2^{\aleph_0}$ dependiendo de su elección de la teoría de conjuntos).

Answer 3

Como ya se ha mencionado, los números enteros no tienen un número infinito de dígitos.

Sin embargo, también hay que mencionar algo:

Al final de su prueba, también dice que $\aleph_0 = 2^{\aleph_0} = \aleph_1$ (donde por $\aleph_1$ se refiere a la cardinalidad de $[0, 1)$ ) es "obviamente falso". Er, no lo es... ¡es lo que estás tratando de refutar! Esto es como tratar de demostrar $\sqrt 2$ es irracional al decir "Supongamos $\sqrt 2=\frac a b$ . Pero esto significaría $\sqrt 2$ es racional, lo cual es obviamente falso. Por lo tanto, $\sqrt 2$ es irracional".