Mientras aprendía sobre infinitos, intenté construir una prueba por contradicción de que el continuo de números reales ( $\aleph_1$ ) no puede ser representado por el conjunto de enteros positivos ( $\aleph_0$ ). Es como sigue (simplificado):
Dejemos que $x$ sea un número real donde $0 \leq x < 1$ . Interpretar $x$ como una cadena en base-2 de la forma $0.d_1d_2d_3d_4\dots$ . Que haya un $\aleph_0$ -cubo de dimensiones. Cada valor de $x$ puede representarse como la coordenada $(d_1, d_2, d_3, d_4 \dots)$ que es un vértice del cubo, por lo que existe un mapeo de cada número real sobre un $\aleph_0$ -cubo de dimensiones. Un $n$ -El cubo de dimensiones tiene $2^n$ vértices, por lo que un $\aleph_0$ -El cubo de dimensiones tiene $2^{\aleph_0}$ vértices, por lo tanto $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ .
Si las coordenadas del punto $x$ se tratan como una cadena de bits big-endian que representa un número (es decir $d_1$ es el $2^0$ dígito, $d_2$ es el $2^1$ dígito, etc.) entonces $x$ se puede asignar a un número entero. Este entero puede tener un número infinito de dígitos. Hay $\aleph_0$ enteros.
Si existe un mapeo entre los reales y los enteros, entonces $\aleph_0 = 2^{\aleph_0} = \aleph_1$ . Esto es obviamente falso, y es lo que estaba tratando de refutar. ¿Qué parte(s) de mi prueba está(n) equivocada(s)?
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Me perdiste en "Si las coordenadas del punto $x$ se tratan como enteros big-endianos... es decir, $d_1$ es $2^0$ , $d_2$ es $2^1$ etc." Esto se debe a que tal suma $\sum_{i=0}^{\infty}d_{i+1} 2^i$ puede divergir hasta el infinito, que no es un número entero. De hecho, diverge siempre que el número de bits de 1 sea infinito.
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Creo que la prueba estándar de diagonalización de Cantor es sencilla y elegante, ¿no te gusta esa prueba?
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@Michael ¿Así que esa es la parte de mi prueba que no funciona? Creo que esa es la respuesta; ¡gracias por la rápida respuesta!
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@Michael Creo que esa prueba es muy elegante, pero estaba intentando crear la mía propia para asegurarme de que entendía el tema. Resulta que no lo entiendo. :-)
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Acabarás aprendiendo mucho construyendo tus propias pruebas (posiblemente alternativas) para temas de interés, independientemente de si tu prueba tiene éxito o no. Así que, buena pregunta.
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¿De dónde sacaste eso? $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ ?
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@AsafKaragila El conjunto de números reales puede ser mapeado al conjunto de vértices de un $\aleph_0$ -cubo para que sean equivalentes.
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Eso no respondió a mi pregunta más que decir que $1+1=2$ y por lo tanto $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ .
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@AsafKaragila No sé explicarlo mejor que eso. Estoy suponiendo que el conjunto de los reales es $\aleph_1$ .
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"Si las coordenadas del punto x se tratan como una cadena, entonces x se puede mapear a un entero". Eso sólo es cierto si la cadena es finita. "Este entero puede tener un número infinito de dígitos". No, no puede. O si lo tuviera no sería un entero.
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De acuerdo, ¿pero por qué? ¿Es por conveniencia, o has entendido mal la definición de $\aleph_1$ ? No pretendo ser condescendiente, sólo es un error común.
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@AsafKaragila Me dijeron que $\aleph_1$ se utilizaba a veces para representar el conjunto de los reales por comodidad, ya que no se sabe si existe un $\aleph_0.5$ (algo intermedio entre el conjunto de los reales y el conjunto de los enteros).
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Eso es simplemente una mala enseñanza, lo siento. $\aleph_1$ es la cardinalidad de todos los ordinales contables, esa es su definición. Es el cardinal incontable más pequeño, y no existe $\aleph_{0.5}$ . Los números reales tienen cardinalidad $2^{\aleph_0}$ que es incontable, y por lo tanto $\aleph_1\leq2^{\aleph_0}$ es un teorema fácil, más o menos por definición, si hay o no una igualdad se conoce como la Hipótesis del Continuo de Cantor. No es una "incógnita", sino que no es demostrable ni refutable a partir de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos.
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@AsafKaragila Ya veo. Gracias por la aclaración. ¿Qué debo usar para representar la cardinalidad de los reales?
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Bueno, $2^{\aleph_0}$ .