El Tensor de curvatura de Riemann utilizando las convenciones de wikipedia, se escribe en términos de Símbolos de Christoffel como: $$ \tag{1} R^\lambda_{\,\,\mu \nu \rho} = \partial_\nu \Gamma^\lambda_{\,\,\rho \mu} - \partial_\rho \Gamma^\lambda_{\,\,\nu \mu} + \Gamma^\lambda_{\,\,\nu\sigma} \Gamma^\sigma_{\,\,\rho \mu} - \Gamma^\lambda_{\,\,\rho\sigma} \Gamma^\sigma_{\,\,\nu \mu}.$$
Sabemos que este objeto es un tensor covariante, es decir, que satisface $$ \tag{2} R'^\lambda_{\,\,\mu \nu \rho} = \Lambda^\lambda_{\,\,\dot{\lambda}} \Lambda_\mu^{\,\,\dot{\mu}} \Lambda_\nu^{\,\,\dot{\nu}} \Lambda_\rho^{\,\,\dot{\rho}} R^{\dot{\lambda}}_{\,\,\dot{\mu} \dot{\nu} \dot{\rho}}\,\,, $$ que se ve con relativa facilidad a partir de la identidad de Ricci $$ \tag{3} \nabla_\rho \nabla_\sigma A_\nu - \nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu = A_\mu R^\mu_{\,\, \nu \rho \sigma} \,\,.$$
Pero ahora me pregunto: ¿hay una manera de ver directamente a partir de (1) que esa disposición particular de los símbolos de Christoffel y la primera derivada de los símbolos de Christoffel con esa disposición particular de los índices produce un tensor covariante? Por supuesto que podemos arremangarnos y hacer los (largos) cálculos para comprobarlo; lo que pido es un argumento cualitativo que pueda justificar más o menos por qué debemos esperar (1) como resultado.
