Crecimiento de las secuencias tipo Fibonacci

Question

Dejemos que $S = \left( a_n \right)_{n=0}^\infty$ sea una secuencia (no trivial) de números reales tal que $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ para $n \geq 2$ .

Nosotros (un amigo y yo) estamos interesados en el crecimiento de la secuencia $T = \left( |a_n| \right)_{n=0}^\infty$ . En concreto, qué valores iniciales $a_0, a_1$ dará lugar a la más lento crecimiento de los términos de $T$ ?

---

A través de la experimentación, hemos llegado a la conjetura de que para un valor dado no nulo de $a_0$ , ajuste $a_1 = a_0 \psi$ produce el crecimiento más lento de $T$ (donde $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ).

Answer 1

Cualquier T satisfará $a_n = As^n +Bt^n$ para todos $n$ para las constantes $A,B$ y $s,t$ son las soluciones de $x^2=x+1$ (¡No es una coincidencia!), con $s=(1+\sqrt 5)/2$ y $t=(1-\sqrt 5)/2$ ................ Desde $s>1$ y $-1<t<0$ está claro que si $A\ne 0$ entonces $|a_n| \to \infty$ como $n \to \infty$ .......Para que esto no ocurra debemos tener $A=0$ que, por supuesto, da $a_n=Bt^n$ para todos $n$ Así que $a_1=ta_0$ .