Adjunto de derivado de la covariante en un múltiple de Riemannian

Question

Sea $\nabla_X$ derivado de la covariante en un Riemannian múltiple w.r.t. el vector campo $X$. No es claro para mí lo del adjoint (formal) de este operador es: me refiero al operador $\tilde\nabla_X$ satisfactoria (para digamos $\alpha,\beta$ 1-formas con soporte compacto)

$\langle\nabla_X \alpha,\beta\rangle = \langle\alpha, \tilde \nabla_X \beta\rangle $

¿Este operador tiene un nombre especial o significado geométrico?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Usted puede calcular explícitamente el adjoint integrando por partes: la métrica-compatibilidad de $\nabla$ da $$\begin{align} g(\nabla_X \alpha, \beta) &= X g(\alpha,\beta) - g(\alpha, \nabla_X \beta) \\ &=\text{div}(g(\alpha,\beta)X)-g(\alpha,\beta)\text{div}(X)-g(\alpha,\nabla_X \beta) \end {Alinee el} $$

y así la integración en una región que contiene los soportes de $\alpha$ y $\beta$ llegar

$$\langle \nabla_X \alpha, \beta \rangle = \langle\alpha,-\text{div}(X) \beta-\nabla_X\beta\rangle$$

así $\nabla_X^* = -\text{div}(X) - \nabla_X$.