Subconjuntos no Borel de [0,1] y una definición en un artículo

Question

Tengo que responder al siguiente problema: dejemos $B\subseteq \mathbb{R}^{n}$ sea un conjunto compacto, y que $b\in B^{[0,1]}$ y que $\{\pi_{i};i\in [0,1]\}$ denotan las proyecciones canónicas. ¿Es la siguiente una medida de probabilidad bien definida en el Borel $\sigma$ -álgebra en $B$ : $$ \beta(b)(E):=\int_{[0,1]}f_{E}(i) d\lambda(i) $$ donde $f_{E}(i)=1$ si $\pi_{i}(b)\in E$ y $0$ ¿o no? He atacado el problema de la siguiente manera: todo lo que hay que demostrar es que para cada conjunto medible por Borel $E\subseteq B$ la función $f_{E}$ es medible. Supongamos que $|B|\geq 2$ y $x\neq y$ elementos de $B$ entonces $\{x\}$ es un subconjunto medible por Borel de $B$ . Supongamos que existe $Z\subseteq [0,1]$ no es medible por Borel y define $b$ por: $$\pi_{i}(b)=\begin{cases}x & \text{if }i\in Z\\ y & \text{otherwise}\end{cases}$$ entonces $f_{\{x\}}^{-1}(\{1\})=Z$ y por lo tanto no es medible por Borel.

Así que las preguntas son las siguientes:

1. ¿Existe algún subconjunto medible no-Borel $Z\subseteq [0,1]$ ? Parece que sí, a partir del ejemplo estándar (por ejemplo aquí ).
2. ¿Hay otra forma de que esto funcione?
3. ¿Estoy haciendo algo mal?

La razón por la que me resisto a decir NO es que este es un supuesto básico en un documento publicado ( Haga clic aquí, nota al pie de página 6 ). Esto nos lleva a otra pregunta: ¿difiere mi expresión de la utilizada en el documento? $$\beta(b)(E) = \int_{\{i\in[0,1]:b_{i} \in E\}} di$$

Muchas gracias

Manuel

Answer 1

El documento no es muy explícito en cuanto a cómo se modelan los jugadores pequeños, pero hay enfoques que funcionan al menos para esta cuestión.

Supongamos que las acciones de los jugadores están representadas por funciones medibles $b:[0,1]\to B$ . Entonces la distribución inducida en $B$ viene dada simplemente por $\beta(b)(E)=\nu\circ b^{-1}(E)$ con $\nu$ siendo la medida sobre el espacio de los jugadores. Si $\nu$ no tiene átomos, cualquier medida sobre $B$ es inducida por dicha función. Dado que todos los jugadores tienen las mismas preferencias e información, todos tienen las mismas mejores respuestas, por lo que una distribución sobre las acciones de los jugadores será simplemente una medida de probabilidad sobre $B$ apoyado en las mejores respuestas.

Por supuesto, Sannikov no es explícito en lo que considera un perfil de acción, pero la suposición natural es que se trata de funciones medibles y no de nada en el producto $B^{[0,1]}$ . De hecho, casi todas las funciones de $B^{[0,1]}$ no son medibles si $B$ no es trivial.