Cálculo multivariable curso crédito adicional reto

Question

Estoy autorizado a consultar a otros recursos/individuos siempre y cuando menciono tu nombre/posición sobre el problema de la hoja. No tengo idea de cómo comenzar. Esto es así más allá del alcance de mi curso. Mi instructor quiere que sus estudiantes para interactuar/discutir esto con las matemáticas de la comunidad.

Aquí está:

Vamos Ω ser una región convexa en R2 y sea L ser un segmento de recta de longitud ι que conecta puntos en el límite de Ω. A medida que nos movemos uno de los extremos de L alrededor de la frontera, el otro extremo también se mueve alrededor de este límite, y el punto medio de L se traza una curva dentro de Ω que los límites de un (pequeño) de la región Γ. Encontrar una expresión que relaciona el área de la Γ para el área de Ω en términos de la longitud de ι.

Answer 1

El resultado relevante es conocido como Holditch teorema . De La Wikipedia:
Holditch del teorema establece que si una cuerda de longitud fija, se le permite girar en el interior de un convexo cerrado de la curva, entonces el lugar geométrico de un punto sobre la cuerda a una distancia de $p$ a partir de un extremo y una distancia de $q$ desde la otra es una curva cerrada, cuya área es menor que la de la curva original por $\pi pq$.

Su papel es
Apo. Hamnet Holditch, "teorema Geométrico"
La Revista Trimestral de la Pura y Matemática Aplicada 2, 1858, pág. 38.
Su una página de prueba es hermoso.

Yo más moderno (y más analítica) exposición es
Arne Broman, "Una nueva mirada a un largo tiempo olvidada teorema",
Mathematics Magazine 54(3), Mayo De 1981, 99-108.

Answer 2

Sugiero trabajando para algunos sencillos $\Omega$.

Si $\Omega$ es un círculo de radio $R$, $\Gamma$ es de nuevo un círculo con un radio de $r<R$ que puede ser fácilmente calculada.

Si $\Omega$ es un rectángulo, entonces $\Gamma$ es el mismo rectángulo con un cuarto de círculo en cada esquina, ver que la foto de abajo. De nuevo los cálculos pueden hacerse exactamente.

En ambos casos $$\text{área}(\Gamma)=\text{área}(\Omega)-\frac{\pi}{4}\,l^2.$$ Es decir, el área de $\Gamma$ es el área de $\Omega$ menos el área de un círculo de radio $l/2$. Saber la respuesta puede mostrar el camino a la prueba.