Demostrar que G es un grupo bajo multiplicación matricial.

Question

G es el conjunto de matrices de la forma $G=$$\begin {pmatriz} x & x \\ x & x \end {pmatrix}$. Así que para que este conjunto sea un grupo sé que tiene que ser:

• Cerrado bajo la multiplicación de matrices
• La propiedad asociativa sostiene
• Contiene un elemento de identidad
• Cada elemento debe tener un inverso

Así que la forma de las matrices es tal que todos los elementos son iguales pero no 0. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Trabajando en este problema, parece que he dado con una contradicción. Dado que G es un subgrupo del mayor $2x2$ grupo de matrices no singulares ¿por qué G no tiene el mismo elemento de identidad que su grupo matriz? A saber: \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {bmatrix}

¿No se supone que el subgrupo tiene el mismo elemento de identidad que su grupo matriz?

Answer 1

Sugerencia

1) ¿Qué es $\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix}$ ?

2) La multiplicación de matrices es asociativa.

3) Cuando busque la identidad que desea

$$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$$

Ahora, haz la multiplicación de la izquierda, ¿qué obtienes?

4) Con el $e$ de $3)$ resolver

$$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix}$$

para $y$ . De nuevo, todo lo que necesitas es hacer la multiplicación...

P.D. Para que esto sea un grupo, necesitas $x \neq 0$ .

P.P.S Desde $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ puede demostrar que

$$F: \mathbb R \backslash\{0 \} \to G$$ $$F(x) =\frac{x}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

es una biyección y preserva las multiplicaciones. Dado que $\mathbb R \backslash\{0 \}$ es un grupo se deduce que G también debe ser un grupo y $F$ es un isomorfismo... Pero esto es probablemente más allá de lo que has cubierto hasta ahora...