Vector Bundle Duda..

Question

Bueno tengo una duda sobre un rango $k$ paquete de vectores. Mi definición de haz vectorial es: Un rango $k$ El haz vectorial es un triple $(\pi, E, M)$ donde $E$ y $M$ son colectores suaves y $\pi:E\rightarrow M$ es una inmersión suave, que satisface:

(i) por cada $p\in M$ la fibra $F_p=\pi^{-1}(p)$ es un $k$ -espacio vectorial.

(ii) dado $p\in M$ existe un conjunto abierto $U\subseteq M$ que contiene $p$ y un difeomorfismo $\phi:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb R^k$ tal que $\textrm{pr}_1\circ \phi=\pi$ .

(iii) Por cada $q\in U$ el mapa $\phi_q:E_q\rightarrow \mathbb R^k$ , $e\mapsto (\textrm{pr}_2\circ \phi)(e)$ es un isomorfismo lineal

Mi duda es: Si tengo $\pi^{-1}(U)=E$ y $U=M$ en $(ii)$ y considero que $\phi^{-1}:M\times \mathbb R^k\rightarrow E$ puedo decir $\phi^{-1}(p, \cdot)=\phi_p^{-1}$ ?

Answer 1

No lo has dicho en tu definición, pero $\phi_p\colon E_p\to\{p\}\times U$ es la restricción de $\phi$ a la fibra $E_p=\pi^{-1}(p)\subseteq\pi^{-1}(U).$ Por lo tanto, la identidad por la que preguntabas se cumple sin duda, ya que en general la inversa de una restricción de cualquier función es la restricción de la inversa.