Hay una inyección entre $\mathbf{R}$y $[0,1)$

Question

Quiero encontrar un mapa inyectiva $f\colon\mathbb{R}\to[0,1)$ que no es una función trascendental (prefiero una función racional). Es posible encontrar tal función o necesito una función trascendental como %#% $ #%

Answer 1

No es posible que las funciones racionales. Por qué no aquí está:

Supongamos que existe tal un $f$. Escriba $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ donde $p$ y $q$ son polinomios con ningún término común. En primer lugar, $q(x)$ no puede tener cualquier raíces. Ya que es continuo en $f$ $\mathbb{R}$ $f$ es inyectiva, debe o bien ser aumentando o disminuyendo. Para acabarla apagado, cualquier función racional $\lim{x \to \infty} f(x) = \lim{x \to -\infty}f(x),$ si cualquier límite es finito. Esto no puede suceder si $f$ está aumentando o disminuyendo.

Answer 2

Una pregunta reciente pidieron una prueba de que $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}$ define una biyección $(0,1) \to \mathbb{R}$.

El inverso del $f$ da un bijection $ \mathbb{R} \to (0,1)$ así que una inyección $ \mathbb{R} \to [0,1)$.

Esta función inversa tiene una expresión con raíces cuadradas.

Answer 3

Qué tal $$ f (x) = \frac 12\left(1 + \frac{x}{|x| + 1}\right) $$ no una función racional, pero es continuamente diferenciable.