Descomposiciones de Iwasawa y Cartan.

Question

Considerar la tomé de Bruhat y Tetas: Groupes réductifs sur un cuerpo local : I. Données radicielles valuées. Publicaciones de Mathématiques de l''IHÉS, 41 (1972), pág. 5-251. (disponible en NUMDAM). Estoy interesado principalmente en las declaraciones de Proposiciones, 4.4.3 y 4.4.4 (y tal vez también 7.3.1).

En la franja de la notación y de las condiciones técnicas actuales, se me hace difícil leer exactamente lo que las instrucciones precisas de estas dos proposiciones son. Mi pregunta es, ¿alguien puede dar

(a) una versión exacta de las declaraciones de 4.4.3 y 4.4.4?

(b) si la solicitud en (a) es demasiado, una especie de versión simplificada que es fácil de estado/comprender y esperemos que aún razonablemente general.

o

(c) una alternativa de referencia que cubren al menos el caso de una división reductiva grupo?

(esta pregunta se relaciona con, pero más general que Dinakar la pregunta)

Answer 1

Creo que el punto clave es la proposición 4.4.2, donde los "buenos" subgrupos son caracterised geométricamente como estabilizadores de especial subgrupos (es decir, estabilizadores de un punto o tales que el grupo de Weyl W es el semidirect producto de sus traducciones y de la estabilizador de o en W).

Entonces el grupo G es el producto de B (el estabilizador de una clase de sector, una mínima parabólico grupo para algebraica de grupo) y el grupo K. por otra parte, el grupo B de la misma es el producto de B^0 (que es la unión de pointwise fijadores de sectores) y el grupo de traducciones (actuando en algún apartamento que contiene o y un sector en esta clase).

El Cartan descomposición es, como de costumbre, la descomposición de un elemento g en kvk', donde k y k' son elemento de K y v es un elemento que envía o a un vértice del sector a partir de o en la clase definida por B.

La proposición 4.4.4 el propósito de explicar la relación entre las dos descomposiciones (es decir, cuando se conoce la traducción de la parte en la Iwasawa de descomposición, se puede deducir que en el Cartan descomposición ?)

Si usted sabe cómo adjuntar un edificio a una reductora grupo, entonces el libro de "Edificios" por Abramenko y Marrón es una buena referencia (véase cap. 11), mucho más fácil de leer. Tratar cada edificio, sino construir sólo las afín a la construcción de asociados SL(n). Otra referencia es el pequeño libro de Macdonald, "Esférica funciones en un grupo de p-ádico tipo" (capítulo II, Teorema de 2.6.11)

Answer 2

Pensé exactamente lo mismo hace un tiempo. Voy a mirar mis notas en algún momento pronto y publicar algo más preciso, pero aquí es lo que puedo decir por la parte superior de mi cabeza.

• "bon" o "bueno" es casi por definición, específicamente la capacidad de $K$ a a hacer realidad el 'Iwasawa descomposición', que la mayoría de la gente hoy en día escribiría $G=P\cdot K$ (no directa) donde $K$ es uno de estos máxima compacto-abierta subgrupos y $P$ es un mínimo parabólico (un Borel subgrupo, esencialmente, por definición, si el grupo es cuasi-split). De hecho, digamos que es un Borel subgrupo $B$ y hacer con ella.
• que horrible símbolo $\hat{\mathfrak{B}}^0$ es realmente el unipotentes radicales $U$ de la $B$
• que $\hat{V}$ es algo así como la cocharacter grupo de la máxima torus $T\subset B$ interpretarse como un subgrupo de $B$ por la evaluación en el uniformizer de la base de campo, es decir, $X_{*}(T)\rightarrow B : \mu \mapsto \mu(\pi)$

(modo "$\hat{G}=\hat{\mathfrak{B}}^0 \hat{V} K$" en realidad sólo significa $G=BK$)

• tienes que ser muy cuidadoso en este libro con qué tipo de cosa $K$ es. Hay cuatro (creo) estrechamente relacionados con los grupos que se diferencian sólo por el críptico combinaciones de sombreros, superíndice ceros, y los primos. El puede ser pointwise fijadores o simplemente estabilizadores de las facetas en las que todo el grupo o algunos de los subgrupos, y bajo diferentes hipótesis sobre la $G$ algunos de ellos resultan ser iguales a los demás.

Answer 3

Hola,

Como tengo entendido el papel, que definen a una buena subgrupo como máxima limitada de los subgrupos que se divide en el de todo el grupo, es decir, el grupo en su conjunto es el producto directo de la máxima delimitado el uno con el otro subgrupo. En ese caso, 4.4.3 dice que si esta máxima limitada subgrupo K contiene en el grupo B, definiendo con N un Bruhat-Tits sistema, entonces podemos escribir un Iwasawa y un Cartan de la descomposición de todo el grupo con relación a los K. 4.4.4 muestra la implentation de 4.4.3 en varios casos particulares.

Esperanza esto ayuda,

Eric