Calculando

Question

Mi profesor de matemáticas me mostró algo sobre cómo calcular sumas. Veamos un ejemplo:

$$\sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} $$

Esta fue una tarea fácil, pero simplemente no puedo understan cómo resolver tales sumas:

$$\sum_{k=1}^n (k-1)k(k+1)\tag{example 1}$$

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}\tag{example 2}$$

Podría alguien ayudarme, por favor?

Quiero entender la idea de resolver sumas como estos, así que por favor, no ser muy específico, pero la ayuda que me estas dando y tal vez algunos otros ejemplos.

Answer 1

SUGERENCIA:

El segundo ejemplo es ortogonal a la primera, por lo tanto, una respuesta distinta

$$\frac3{(3n+1)(3n-2)}=\frac{(3n+1)-(3n-2)}{(3n+1)(3n-2)}=\frac1{3n-2}-\frac1{3n+1}$$

Establecer unos valores de $n=1,2,3,\cdots,n-2,n-1,n$ a reconocer la serie telescópica

Answer 2

$$(k-1)k(k+1)=k^3-k$$

$$\sum{k=1}^n(k-1)k(k+1)=\sum{k=1}^n(k^3-k)=\sum{k=1}^nk^3-\sum{k=1}^nk$$

Ver suma de la prueba de cubos y probando la suma de los primeros $n$ números naturales por inducción

Answer 3

Usted puede utilizar el hecho de que $$ (k-1) k (k+1) = 6\binom {k+1}3 $$ para obtener $$ \sum_{k=1}^n (k-1) k (k+1)= 6\sum_{k=1}^n \binom {k+1}3 = 6\binom{n+2}4 = \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{4} $$

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Para la primera suma, también tiene $$ \sum_{k=1}^n k(k+1) = 2\sum_{k=1}^n \binom {k+1}2 = 2\binom{n+2}3 = \frac{(n+2)(n+1)n}3 $$

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Para el segundo problema, esto es totalmente diferente de la bestia. Usted debe escribir $$ \frac1{(3n−2)(3n+1)} = \frac 13\frac{(3n+1) - (3n-2)}{(3n−2)(3n+1)} = $$

y la mayoría de los términos telescopio.